安徽师范大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
（15）十二、求 $\displaystyle \oint_{x^{2}+y^{2}=1} x y^{2} d y-y x^{2} d x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：识别曲线积分形式并应用格林公式
给定第二类曲线积分 \(\oint_{x^2+y^2=1} x y^2 \, dy - y x^2 \, dx\)，其中曲线为单位圆，通常取逆时针方向。格林公式将封闭曲线积分转化为二重积分：
\[
\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dx\,dy
\]
对比原式，有 \(P = -y x^2\)，\(Q = x y^2\)。
公式：格林公式：\(\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dx\,dy\)
提示：注意格林公式要求曲线取正向（逆时针），若题目未说明方向，通常默认为逆时针。
步骤 2/5
目标：计算偏导数并简化被积函数
计算偏导数：
\(\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x y^2) = y^2\)，
\(\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(-y x^2) = -x^2\)。
于是被积函数为：
\[
\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = y^2 - (-x^2) = x^2 + y^2
\]
公式：\(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = x^2 + y^2\)
提示：注意 \(P\) 和 \(Q\) 的符号不要弄反，\(P\) 对应 \(dx\) 前的系数，\(Q\) 对应 \(dy\) 前的系数。
步骤 3/5
目标：将曲线积分转化为二重积分
区域 \(D\) 是单位圆盘 \(x^2 + y^2 \le 1\)，因此原积分化为：
\[
\iint_D (x^2 + y^2) \, dx\,dy
\]
公式：\(\oint_C x y^2 \, dy - y x^2 \, dx = \iint_D (x^2 + y^2) \, dx\,dy\)
提示：二重积分的区域由曲线围成，此处为单位圆内部。
步骤 4/5
目标：使用极坐标计算二重积分
令 \(x = r\cos\theta\)，\(y = r\sin\theta\)，则 \(x^2 + y^2 = r^2\)，面积元 \(dx\,dy = r\,dr\,d\theta\)，积分区域：\(0 \le r \le 1\)，\(0 \le \theta \le 2\pi\)。于是：
\[
\iint_D (x^2 + y^2) \, dx\,dy = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 r^2 \cdot r \, dr = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 r^3 \, dr
\]
公式：极坐标变换：\(x = r\cos\theta\)，\(y = r\sin\theta\)，\(dx\,dy = r\,dr\,d\theta\)
提示：注意极坐标下被积函数要乘以雅可比行列式 \(r\)，不要遗漏。
步骤 5/5
目标：计算积分并得出结果
先对 \(r\) 积分：
\[
\int_0^1 r^3 \, dr = \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^1 = \frac{1}{4}
\]
再对 \(\theta\) 积分：
\[
\int_0^{2\pi} \frac{1}{4} \, d\theta = \frac{1}{4} \cdot 2\pi = \frac{\pi}{2}
\]
因此原曲线积分的值为 \(\frac{\pi}{2}\)。
公式：\(\int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 r^3 \, dr = \frac{\pi}{2}\)
提示：计算定积分时注意上下限，并检查积分顺序是否正确。
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