安徽师范大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
（15）十、求曲面 $\displaystyle x y z=1$ 上在其上点 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 处切平面与坐标平面所围几何体体积．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：建立曲面方程并求梯度
设曲面方程为 $F(x,y,z)=xyz-1=0$，则梯度 $\nabla F=(yz, xz, xy)$。
公式：$\nabla F = \left( \frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial F}{\partial z} \right)$
提示：注意梯度是法向量，但需确保曲面方程形式为 $F=0$。
步骤 2/7
目标：求切平面法向量
在点 $(x_0,y_0,z_0)$ 处，法向量为 $(y_0z_0, x_0z_0, x_0y_0)$。
提示：代入点坐标时，注意 $x_0y_0z_0=1$ 可用于后续化简。
步骤 3/7
目标：写出切平面方程
切平面方程为 $y_0z_0(x-x_0)+x_0z_0(y-y_0)+x_0y_0(z-z_0)=0$。
公式：$\mathbf{n}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)=0$
提示：不要忘记减去点坐标。
步骤 4/7
目标：化简切平面方程
利用 $x_0y_0z_0=1$，展开并化简得 $\frac{x}{x_0}+\frac{y}{y_0}+\frac{z}{z_0}=3$。
提示：化简时注意每一项的系数，避免代数错误。
步骤 5/7
目标：求切平面与坐标轴的交点
令 $y=0,z=0$ 得 $x=3x_0$；同理得 $y=3y_0$，$z=3z_0$。交点分别为 $(3x_0,0,0)$、$(0,3y_0,0)$、$(0,0,3z_0)$。
提示：注意交点的坐标符号，但体积用绝对值。
步骤 6/7
目标：计算四面体体积
切平面与三个坐标平面围成的几何体是四面体，顶点为原点及三个交点。体积公式为 $V=\frac{1}{6}|abc|$，其中 $a,b,c$ 为三轴截距。代入得 $V=\frac{1}{6}\cdot|3x_0|\cdot|3y_0|\cdot|3z_0|=\frac{27}{6}|x_0y_0z_0|=\frac{9}{2}$。
公式：$V=\frac{1}{6}|abc|$
提示：注意体积公式中系数为1/6，且截距取绝对值。
步骤 7/7
目标：得出最终结果
由于 $x_0y_0z_0=1>0$，故体积为 $\frac{9}{2}$。
提示：确认点 $(x_0,y_0,z_0)$ 在曲面上，乘积为正。
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