安徽师范大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
（10）四、若 $\displaystyle f(x)$ 的图像关于 $\displaystyle x=a, x=b, a \neq b$ 对称，证明 $\displaystyle f(x)$ 为周期函数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：根据对称性写出函数方程
由 $f(x)$ 关于 $x=a$ 对称，得 $f(a+x)=f(a-x)$，即 $f(x)=f(2a-x)$。同理，关于 $x=b$ 对称，得 $f(x)=f(2b-x)$。
公式：f(x)=f(2a-x), f(x)=f(2b-x)
提示：注意对称性公式的推导：关于 $x=a$ 对称意味着 $f(a+x)=f(a-x)$，令 $x$ 替换为 $x-a$ 可得 $f(x)=f(2a-x)$。
步骤 2/3
目标：利用两个对称性进行迭代
对任意 $x$，有 $f(x)=f(2a-x)$。将 $2a-x$ 代入第二个对称性：$f(2a-x)=f(2b-(2a-x))=f(2b-2a+x)$。因此 $f(x)=f(2b-2a+x)$。
公式：f(x)=f(2b-2a+x)
提示：注意代入时保持变量一致，避免符号错误。
步骤 3/3
目标：定义周期并验证
令 $T=2(b-a)$，则 $2b-2a=T$，于是 $f(x)=f(x+T)$。由于 $a\neq b$，$T\neq 0$，故 $f(x)$ 是以 $T$ 为周期的周期函数。
公式：T=2(b-a), f(x+T)=f(x)
提示：周期必须非零，注意 $a\neq b$ 的条件确保 $T\neq 0$。
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