安徽师范大学 2021年数学分析第1题
📝 题目
1．设 $\displaystyle f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{4(1-\cos x)+2 e^{-n x} \cos x}{x^{2}+e^{-n x}}$ ，求 $\displaystyle f^{\prime}(0)$ ．（15 分）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：求f(0)的值
当 $x=0$ 时，代入原极限表达式：$f(0)=\lim_{n\to\infty}\frac{4(1-\cos 0)+2e^{0}\cos 0}{0+e^{0}}=\lim_{n\to\infty}\frac{0+2\cdot1}{1}=2$。
提示：注意 $e^{-n\cdot0}=e^0=1$，不要误以为 $e^{-nx}$ 在 $x=0$ 时趋于0。
步骤 2/6
目标：求x≠0时f(x)的表达式
当 $x\neq0$ 时，由于 $n\to\infty$，$e^{-nx}\to0$，因此 $f(x)=\frac{4(1-\cos x)+0}{x^2+0}=\frac{4(1-\cos x)}{x^2}$。
提示：注意 $x<0$ 时 $e^{-nx}$ 趋于无穷大，极限表达式需要单独处理，但本题中不影响导数结果。
步骤 3/6
目标：验证f(x)在x=0处的连续性
计算 $\lim_{x\to0}\frac{4(1-\cos x)}{x^2}=2$，与 $f(0)=2$ 相等，因此 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续。
公式：$\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$
提示：连续性是可导的必要条件，但此处验证连续是为了后续导数定义的使用。
步骤 4/6
目标：利用导数定义求f'(0)
由导数定义：$f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{4(1-\cos x)}{x^2}-2}{x}$，化简得 $\lim_{x\to0}\frac{4(1-\cos x)-2x^2}{x^3}$。
公式：$f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$
提示：注意 $f(0)=2$，不要忘记代入。
步骤 5/6
目标：使用泰勒展开化简分子
将 $\cos x$ 泰勒展开：$\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+O(x^6)$，则 $1-\cos x=\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{24}+O(x^6)$，$4(1-\cos x)=2x^2-\frac{x^4}{6}+O(x^6)$，所以 $4(1-\cos x)-2x^2=-\frac{x^4}{6}+O(x^6)$。
公式：$\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+O(x^6)$
提示：泰勒展开时注意阶数，分子需要展开到 $x^4$ 项，因为分母是 $x^3$。
步骤 6/6
目标：计算极限得到导数
代入得 $\lim_{x\to0}\frac{-\frac{x^4}{6}+O(x^6)}{x^3}=\lim_{x\to0}\left(-\frac{x}{6}+O(x^3)\right)=0$，因此 $f'(0)=0$。
提示：注意 $O(x^6)/x^3=O(x^3)\to0$，所以极限为0。
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