安徽师范大学 2021年数学分析第5题

计算 $a_0 = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(x) \, dx = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} x(2\pi - x) \, dx = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} (2\pi x - x^2) \, dx$。积分得 $\frac{1}{\pi} \left[ \pi x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_0^{2\pi} = \frac{1}{\pi} \left( 4\pi^3 - \frac{8\pi^3}{3} \right) = \frac{4\pi^2}{3}$。

计算 $a_n = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(x) \cos(nx) \, dx = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} (2\pi x - x^2) \cos(nx) \, dx$。利用分部积分公式：$\int x \cos(nx) \, dx = \frac{x \sin(nx)}{n} + \frac{\cos(nx)}{n^2}$，$\int x^2 \cos(nx) \, dx = \frac{x^2 \sin(nx)}{n} + \frac{2x \cos(nx)}{n^2} - \frac{2 \sin(nx)}{n^3}$。代入上下限 $0$ 和 $2\pi$，注意到 $\sin(2n\pi)=0$，$\cos(2n\pi)=1$，$\cos(0)=1$，得 $\int_0^{2\pi} x \cos(nx) \, dx = 0$，$\int_0^{2\pi} x^2 \cos(nx) \, dx = \frac{4\pi}{n^2}$。因此 $a_n = \frac{1}{\pi} (2\pi \cdot 0 - \frac{4\pi}{n^2}) = -\frac{4}{n^2}$。

计算 $b_n = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(x) \sin(nx) \, dx = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} (2\pi x - x^2) \sin(nx) \, dx$。利用分部积分公式：$\int x \sin(nx) \, dx = -\frac{x \cos(nx)}{n} + \frac{\sin(nx)}{n^2}$，$\int x^2 \sin(nx) \, dx = -\frac{x^2 \cos(nx)}{n} + \frac{2x \sin(nx)}{n^2} + \frac{2 \cos(nx)}{n^3}$。代入上下限得 $\int_0^{2\pi} x \sin(nx) \, dx = -\frac{2\pi}{n}$，$\int_0^{2\pi} x^2 \sin(nx) \, dx = -\frac{4\pi^2}{n}$。因此 $b_n = \frac{1}{\pi} (2\pi \cdot (-\frac{2\pi}{n}) - (-\frac{4\pi^2}{n})) = \frac{1}{\pi} (-\frac{4\pi^2}{n} + \frac{4\pi^2}{n}) = 0$。

傅里叶级数为 $f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) = \frac{2\pi^2}{3} - 4 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(nx)}{n^2}$。

将 $f(x)$ 周期延拓到 $\mathbb{R}$，在 $x=0$ 处，$f(0^+)=0$，$f(0^-)=f(2\pi^-)=0$，因此函数在 $x=0$ 处连续，傅里叶级数收敛到 $f(0)=0$。代入 $x=0$ 到级数：$0 = \frac{2\pi^2}{3} - 4 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$。

由 $0 = \frac{2\pi^2}{3} - 4 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 解得 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$，两边乘以 6 得 $\pi^2 = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{6}{n^2}$。