安徽师范大学 2021年数学分析第6题
📝 题目
6．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b](a<b)$ 上连续，令
$$
f_{1}(x)=f(x), f_{n+1}(x)=\int_{a}^{x} f_{n}(t) d t, x \in[a, b], n=1,2, \cdots
$$
证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛．（15 分）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定函数有界性
由于 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，根据闭区间上连续函数的性质，存在常数 $M>0$ 使得 $|f(x)| \leq M$ 对所有 $x \in [a,b]$ 成立。
提示：注意 $M$ 是上界，确保 $M$ 是正数。
步骤 2/6
目标：建立归纳假设
用数学归纳法证明：对任意 $n \geq 1$ 和 $x \in [a,b]$，有 $|f_n(x)| \leq M \frac{(x-a)^{n-1}}{(n-1)!}$。
提示：归纳基础 $n=1$ 时，$(x-a)^0/0! = 1$，不等式成立。
步骤 3/6
目标：归纳步骤推导
假设 $n=k$ 时不等式成立，即 $|f_k(x)| \leq M \frac{(x-a)^{k-1}}{(k-1)!}$。则对于 $n=k+1$，有
$$|f_{k+1}(x)| = \left| \int_a^x f_k(t) dt \right| \leq \int_a^x |f_k(t)| dt \leq \int_a^x M \frac{(t-a)^{k-1}}{(k-1)!} dt = M \frac{(x-a)^k}{k!}.$$
公式：$$\int_a^x (t-a)^{k-1} dt = \frac{(x-a)^k}{k}$$
提示：注意积分上限 $x$ 可能小于 $a$？但 $x \in [a,b]$，所以 $x \geq a$，积分非负。
步骤 4/6
目标：得到通项上界
由归纳法，对任意 $n$ 和 $x \in [a,b]$，有 $|f_n(x)| \leq M \frac{(x-a)^{n-1}}{(n-1)!} \leq M \frac{(b-a)^{n-1}}{(n-1)!}$。
提示：因为 $x-a \leq b-a$，所以 $(x-a)^{n-1} \leq (b-a)^{n-1}$。
步骤 5/6
目标：构造控制级数
考虑常数项级数 $\sum_{n=1}^\infty M \frac{(b-a)^{n-1}}{(n-1)!}$。该级数收敛，其和为 $M e^{b-a}$。
公式：$$\sum_{n=0}^\infty \frac{(b-a)^n}{n!} = e^{b-a}$$
提示：注意指数级数的起始项 $n=0$ 对应 $n=1$ 的情况。
步骤 6/6
目标：应用Weierstrass判别法
由于 $|f_n(x)| \leq M \frac{(b-a)^{n-1}}{(n-1)!}$ 对一切 $x \in [a,b]$ 成立，且常数项级数收敛，根据Weierstrass判别法，函数项级数 $\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛。
提示：Weierstrass判别法要求控制级数收敛且与 $x$ 无关。
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