山东大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
一、求 $\displaystyle f_{z y}(0,0)$ 和 $\displaystyle f_{y x}(0,0)$ ，其中
$$
f(x, y)= \begin{cases}x y \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{cases}
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：求一阶偏导函数（非原点）
当 $(x,y) \neq (0,0)$ 时，对 $f(x,y)=xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$ 求偏导。
对 $x$ 求偏导：
\[ f_x(x,y)=y\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}+xy\cdot\frac{2x(x^2+y^2)-2x(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2}=y\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}+\frac{4x^2y^3}{(x^2+y^2)^2}. \]
对 $y$ 求偏导：
\[ f_y(x,y)=x\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}+xy\cdot\frac{-2y(x^2+y^2)-2y(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2}=x\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}-\frac{4x^3y^2}{(x^2+y^2)^2}. \]
公式：乘积法则：$(uv)'=u'v+uv'$；商的导数：$\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$
提示：注意化简时合并同类项，避免符号错误。
步骤 2/5
目标：求一阶偏导在原点处的值
利用偏导定义计算 $f_x(0,0)$ 和 $f_y(0,0)$。
\[ f_x(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{0-0}{h}=0. \]
\[ f_y(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{0-0}{h}=0. \]
公式：偏导定义：$f_x(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}$
提示：注意 $f(h,0)=0$，$f(0,h)=0$，直接代入即可。
步骤 3/5
目标：求混合偏导 $f_{yx}(0,0)$
利用定义：$f_{yx}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f_y(h,0)-f_y(0,0)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{f_y(h,0)}{h}$。
当 $h\neq0$ 时，代入 $f_y$ 表达式：
\[ f_y(h,0)=h\frac{h^2-0}{h^2+0}-\frac{4h^3\cdot0}{(h^2+0)^2}=h\cdot1-0=h. \]
因此 $f_{yx}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{h}{h}=1$。
公式：混合偏导定义：$f_{yx}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f_y(h,0)-f_y(0,0)}{h}$
提示：注意 $f_y(h,0)$ 的计算中，$x=h,y=0$，代入后化简得到 $h$。
步骤 4/5
目标：求混合偏导 $f_{xy}(0,0)$
利用定义：$f_{xy}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f_x(0,h)-f_x(0,0)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{f_x(0,h)}{h}$。
当 $h\neq0$ 时，代入 $f_x$ 表达式：
\[ f_x(0,h)=h\frac{0-h^2}{0+h^2}+\frac{4\cdot0\cdot h^3}{(0+h^2)^2}=h\cdot(-1)+0=-h. \]
因此 $f_{xy}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{-h}{h}=-1$。
公式：混合偏导定义：$f_{xy}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f_x(0,h)-f_x(0,0)}{h}$
提示：注意 $f_x(0,h)$ 的计算中，$x=0,y=h$，代入后化简得到 $-h$。
步骤 5/5
目标：得出最终结果
由题目符号，$f_{zy}(0,0)=f_{xy}(0,0)=-1$，$f_{yx}(0,0)=1$。
提示：注意混合偏导的顺序：$f_{zy}$ 表示先对 $z$ 再对 $y$，但此处 $z$ 即 $x$，所以 $f_{zy}=f_{xy}$。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。