📝 山东大学 2022年数学分析真题

一、求 $\displaystyle f_{z y}(0,0)$ 和 $\displaystyle f_{y x}(0,0)$ ，其中

$$
f(x, y)= \begin{cases}x y \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{cases}
$$

七、计算 $\displaystyle I(x)=\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-t^{2}} \cos (2 x t) \mathrm{d} t$

三、求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{(2 n+1)!(2 n+1)}$ 的和．

二、设 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \leq 1$ 上有连续二阶偏导数，且

$$
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=\mathrm{e}^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}
$$

证明： $\displaystyle \iint_{x^{2}+y^{2} \leq 1}\left(x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\frac{\pi}{2 e}$ ．

五、设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上可导，且

$$
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left[f(x)+x f^{\prime}(x) \ln x\right]=l
$$

证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=l$ ．

八、设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上具有连续的二阶导数

$$
f(0)=f(1)=f^{\prime}(0)=0, f^{\prime}(1)=1
$$

证明： $\displaystyle \int_{0}^{1}\left|f^{\prime \prime}(x)\right|^{2} \mathrm{~d} x \geq 4$ ．

六、证明：$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n^{3}}$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 上连续，目有连续的导数。

四、已知参数方程 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=\frac{t^{3}}{1+t^{3}}, \\ y=\frac{t^{3}-2 t^{2}}{1+t^{2}} .\end{array}\right.$ ，求 $\displaystyle y=y(x)$ 的极值．