山东大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
六、证明：$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n^{3}}$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 上连续，目有连续的导数。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析级数的一般项并应用Weierstrass判别法证明一致收敛性
对于任意 $x \in \mathbb{R}$，有 $\left|\frac{\sin nx}{n^3}\right| \leq \frac{1}{n^3}$。由于 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3}$ 收敛（$p=3>1$ 的 $p$-级数），由Weierstrass判别法，级数 $\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin nx}{n^3}$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致收敛。
公式：Weierstrass判别法：若 $|u_n(x)| \leq M_n$ 且 $\sum M_n$ 收敛，则 $\sum u_n(x)$ 一致收敛。
提示：注意 $\sin nx$ 的有界性：$|\sin nx| \leq 1$，从而得到控制级数 $\frac{1}{n^3}$。
步骤 2/6
目标：由一致收敛性和各项连续性推出和函数连续
每一项 $\frac{\sin nx}{n^3}$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，且级数在 $\mathbb{R}$ 上一致收敛，因此和函数 $f(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin nx}{n^3}$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续。
公式：一致收敛的连续函数项级数的和函数连续。
提示：一致收敛是保证和函数连续性的关键条件，不能仅凭逐点收敛。
步骤 3/6
目标：考虑逐项求导后的级数并证明其一致收敛性
逐项求导得 $\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos nx}{n^2}$。对任意 $x \in \mathbb{R}$，有 $\left|\frac{\cos nx}{n^2}\right| \leq \frac{1}{n^2}$，而 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ 收敛（$p=2>1$ 的 $p$-级数）。由Weierstrass判别法，该级数在 $\mathbb{R}$ 上一致收敛。
公式：Weierstrass判别法：$|\cos nx| \leq 1$，控制级数为 $\frac{1}{n^2}$。
提示：注意 $\cos nx$ 的有界性，与 $\sin nx$ 类似。
步骤 4/6
目标：应用逐项求导定理得到可导性及导数表达式
原级数 $\sum \frac{\sin nx}{n^3}$ 在 $\mathbb{R}$ 上收敛，逐项求导后的级数 $\sum \frac{\cos nx}{n^2}$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致收敛，由函数项级数逐项求导定理，$f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上可导，且 $f'(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos nx}{n^2}$。
公式：逐项求导定理：若 $\sum u_n(x)$ 收敛，$\sum u_n'(x)$ 一致收敛，则 $f'(x)=\sum u_n'(x)$。
提示：需要验证原级数收敛和导函数级数一致收敛两个条件。
步骤 5/6
目标：证明导函数的连续性
由于 $\sum \frac{\cos nx}{n^2}$ 的每一项 $\frac{\cos nx}{n^2}$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，且该级数在 $\mathbb{R}$ 上一致收敛，因此其和函数 $f'(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续。
公式：一致收敛的连续函数项级数的和函数连续。
提示：与第一步类似，但对象是导函数级数。
步骤 6/6
目标：总结结论
因此，$f(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin nx}{n^3}$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，且具有连续的导数 $f'(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos nx}{n^2}$。
提示：注意题目中写的是 $\mathbb{R}^3$，但实际应为 $\mathbb{R}$，可能是笔误。
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