山东大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
七、计算 $\displaystyle I(x)=\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-t^{2}} \cos (2 x t) \mathrm{d} t$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：引入参数化积分并求导
设 $I(x)=\int_{0}^{+\infty} e^{-t^{2}} \cos(2xt) \, dt$，对 $x$ 求导得：
$$I'(x) = \int_{0}^{+\infty} e^{-t^{2}} \cdot (-2t \sin(2xt)) \, dt = -2 \int_{0}^{+\infty} t e^{-t^{2}} \sin(2xt) \, dt.$$
公式：$\frac{d}{dx} \cos(2xt) = -2t \sin(2xt)$
提示：注意求导时 $\cos(2xt)$ 对 $x$ 求导，$t$ 视为常数。
步骤 2/6
目标：分部积分处理积分
对 $\int_{0}^{+\infty} t e^{-t^{2}} \sin(2xt) \, dt$ 进行分部积分。令 $u = \sin(2xt)$，$dv = t e^{-t^{2}} dt$，则 $du = 2x \cos(2xt) dt$，$v = -\frac{1}{2} e^{-t^{2}}$。于是
$$\int_{0}^{+\infty} t e^{-t^{2}} \sin(2xt) \, dt = \left[ -\frac{1}{2} e^{-t^{2}} \sin(2xt) \right]_{0}^{+\infty} + x \int_{0}^{+\infty} e^{-t^{2}} \cos(2xt) \, dt.$$
公式：分部积分公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$
提示：注意边界项：当 $t \to +\infty$ 时 $e^{-t^2} \to 0$，$\sin(2xt)$ 有界，故边界项为0；当 $t=0$ 时 $\sin(0)=0$，所以边界项整体为0。
步骤 3/6
目标：化简得到微分方程
由分部积分结果，$\int_{0}^{+\infty} t e^{-t^{2}} \sin(2xt) \, dt = x I(x)$。代入 $I'(x)$ 表达式得：
$$I'(x) = -2 \cdot x I(x) = -2x I(x).$$
即 $\frac{dI}{dx} = -2x I$。
提示：注意 $I(x)$ 的定义，确保正确代入。
步骤 4/6
目标：求解微分方程
分离变量：$\frac{dI}{I} = -2x \, dx$，两边积分：$\ln I = -x^{2} + C$，故 $I(x) = C e^{-x^{2}}$，其中 $C$ 为常数。
公式：分离变量法解一阶线性微分方程
提示：积分常数 $C$ 需由初始条件确定。
步骤 5/6
目标：确定常数 $C$
计算 $I(0) = \int_{0}^{+\infty} e^{-t^{2}} \, dt$。已知高斯积分 $\int_{0}^{+\infty} e^{-t^{2}} \, dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$，所以 $I(0) = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$。代入 $I(x) = C e^{-x^{2}}$ 得 $C = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$。
公式：$\int_{0}^{+\infty} e^{-t^{2}} \, dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$
提示：高斯积分是常见结果，需牢记。
步骤 6/6
目标：写出最终结果
因此，$I(x) = \frac{\sqrt{\pi}}{2} e^{-x^{2}}$。
提示：最终结果简洁，注意系数 $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$。
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