山东大学 2022年数学分析第0题

由参数方程 $x=\frac{t^3}{1+t^3}$，$y=\frac{t^3-2t^2}{1+t^2}$，分别对 $t$ 求导： \[ \frac{dx}{dt} = \frac{3t^2(1+t^3)-t^3\cdot 3t^2}{(1+t^3)^2} = \frac{3t^2}{(1+t^3)^2}, \] \[ \frac{dy}{dt} = \frac{(3t^2-4t)(1+t^2)-(t^3-2t^2)\cdot 2t}{(1+t^2)^2} = \frac{t^4+3t^2-4t}{(1+t^2)^2} = \frac{t(t^3+3t-4)}{(1+t^2)^2}. \]

利用参数方程求导公式 $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$，得 \[ \frac{dy}{dx} = \frac{t(t^3+3t-4)}{(1+t^2)^2} \cdot \frac{(1+t^3)^2}{3t^2} = \frac{(t^3+3t-4)(1+t^3)^2}{3t(1+t^2)^2}. \]

令 $\frac{dy}{dx}=0$，即分子为零：$t^3+3t-4=0$。因式分解得 $(t-1)(t^2+t+4)=0$，实根 $t=1$。另外，$t=0$ 时导数不存在，但可能是极值点。

将 $t=1$ 代入参数方程： \[ x = \frac{1^3}{1+1^3} = \frac{1}{2}, \quad y = \frac{1^3-2\cdot1^2}{1+1^2} = \frac{1-2}{2} = -\frac{1}{2}. \]

计算二阶导数 $\frac{d^2y}{dx^2}$。先求 $\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)$ 在 $t=1$ 的值。令 $u(t)=\frac{(t^3+3t-4)(1+t^3)^2}{3t(1+t^2)^2}$，则 $u'(1)=2$。又 $\frac{dx}{dt}\big|_{t=1}=\frac{3}{4}$，故 \[ \frac{d^2y}{dx^2}\big|_{t=1} = \frac{u'(1)}{dx/dt\big|_{t=1}} = \frac{2}{3/4} = \frac{8}{3} > 0, \] 所以 $t=1$ 对应极小值点，极小值为 $y=-\frac{1}{2}$。

当 $t=0$ 时，$x=0$，$y=0$。分析 $\frac{dy}{dx}$ 在 $t=0$ 附近的符号：分子 $t^3+3t-4 \approx -4$，分母 $3t(1+t^2)^2$ 的符号由 $t$ 决定。当 $t<0$ 时，分母为负，故 $\frac{dy}{dx}>0$；当 $t>0$ 时，分母为正，故 $\frac{dy}{dx}<0$。因此 $y$ 在 $x=0$ 处由递增变为递减，为极大值点，极大值为 $y=0$。

综上，函数 $y=y(x)$ 的极值点为： - 极大值点 $(0,0)$，极大值 $y=0$； - 极小值点 $(\frac12, -\frac12)$，极小值 $y=-\frac12$。