山东大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
五、设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上可导，且
$$
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left[f(x)+x f^{\prime}(x) \ln x\right]=l
$$
证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=l$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：构造辅助函数
令 $H(x)=f(x)\ln x$，则 $H'(x)=f'(x)\ln x+\frac{f(x)}{x}$。两边乘以 $x$ 得 $xH'(x)=xf'(x)\ln x+f(x)$，这正是题目条件中的表达式。因此条件化为 $\lim_{x\to+\infty} xH'(x)=l$。
公式：$H(x)=f(x)\ln x$，$xH'(x)=f(x)+xf'(x)\ln x$
提示：注意构造函数的目的是将条件转化为关于 $H(x)$ 的导数形式。
步骤 2/6
目标：利用极限定义转化条件
由 $\lim_{x\to+\infty} xH'(x)=l$，对任意 $\varepsilon>0$，存在 $M>0$，当 $x>M$ 时，$|xH'(x)-l|<\varepsilon$，即 $|H'(x)-\frac{l}{x}|<\frac{\varepsilon}{x}$。
公式：$|H'(x)-\frac{l}{x}|<\frac{\varepsilon}{x}$
提示：注意不等式放缩时，分母 $x$ 为正。
步骤 3/6
目标：积分表示 $H(x)$
对 $x>M$，由牛顿-莱布尼茨公式，$H(x)-H(M)=\int_M^x H'(t)dt = \int_M^x \left(\frac{l}{t}+\left(H'(t)-\frac{l}{t}\right)\right)dt = l\ln\frac{x}{M}+\int_M^x \left(H'(t)-\frac{l}{t}\right)dt$。
公式：$H(x)-H(M)=l\ln\frac{x}{M}+\int_M^x \left(H'(t)-\frac{l}{t}\right)dt$
提示：注意积分上下限，以及 $\ln$ 函数的正确形式。
步骤 4/6
目标：估计误差项
由 $|H'(t)-\frac{l}{t}|<\frac{\varepsilon}{t}$ 得 $\left|\int_M^x \left(H'(t)-\frac{l}{t}\right)dt\right| \le \int_M^x \frac{\varepsilon}{t}dt = \varepsilon\ln\frac{x}{M}$。因此 $\left|H(x)-H(M)-l\ln\frac{x}{M}\right| \le \varepsilon\ln\frac{x}{M}$。
公式：$\left|H(x)-H(M)-l\ln\frac{x}{M}\right| \le \varepsilon\ln\frac{x}{M}$
提示：绝对值不等式放缩时，注意积分与绝对值的顺序。
步骤 5/6
目标：除以 $\ln x$ 并取极限
两边除以 $\ln x$（$x>1$）得 $\left|\frac{H(x)}{\ln x}-\frac{H(M)}{\ln x}-l\frac{\ln(x/M)}{\ln x}\right| \le \varepsilon\frac{\ln(x/M)}{\ln x}$。当 $x\to+\infty$ 时，$\frac{H(M)}{\ln x}\to0$，$\frac{\ln(x/M)}{\ln x}\to1$，所以 $\limsup_{x\to+\infty}\left|\frac{H(x)}{\ln x}-l\right| \le \varepsilon$。
公式：$\limsup_{x\to+\infty}\left|\frac{H(x)}{\ln x}-l\right| \le \varepsilon$
提示：注意 $\limsup$ 的使用，以及 $\varepsilon$ 的任意性。
步骤 6/6
目标：由 $\varepsilon$ 任意性得到极限
由于 $\varepsilon>0$ 任意，故 $\lim_{x\to+\infty}\frac{H(x)}{\ln x}=l$。而 $\frac{H(x)}{\ln x}=f(x)$，因此 $\lim_{x\to+\infty}f(x)=l$。
公式：$\lim_{x\to+\infty}f(x)=l$
提示：注意 $H(x)=f(x)\ln x$，所以 $\frac{H(x)}{\ln x}=f(x)$ 当 $\ln x\neq0$。
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