山东大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
三、求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{(2 n+1)!(2 n+1)}$ 的和．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：构造辅助函数
考虑函数 $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!(2n+1)}$，则所求级数为 $f(1)$。
提示：注意幂次与分母的匹配，使得求导后分母的(2n+1)被消去。
步骤 2/5
目标：求导简化级数
对 $f(x)$ 逐项求导：$f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n+1)!}$。
公式：逐项求导公式
提示：逐项求导在收敛区间内成立，此处收敛半径为无穷。
步骤 3/5
目标：利用已知级数求和
已知正弦函数的泰勒展开：$\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$，所以 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \sin x - x$。两边除以 $x$ 得 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n+1)!} = \frac{\sin x - x}{x}$。因此 $f'(x) = \frac{\sin x - x}{x}$。
公式：$\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
提示：注意求和从n=0开始，而我们的级数从n=1开始，要减去n=0项。
步骤 4/5
目标：积分恢复原函数
对 $f'(x)$ 从0到x积分，并利用 $f(0)=0$，得 $f(x) = \int_0^x \frac{\sin t - t}{t} dt$。
提示：积分下限取0，因为f(0)=0；注意被积函数在t=0处可去奇点，极限为0。
步骤 5/5
目标：代入x=1得到级数和
所求级数为 $f(1) = \int_0^1 \frac{\sin t - t}{t} dt = \int_0^1 \frac{\sin t}{t} dt - \int_0^1 dt = \operatorname{Si}(1) - 1$，其中 $\operatorname{Si}(x)=\int_0^x \frac{\sin t}{t} dt$ 是正弦积分函数。
公式：$\operatorname{Si}(x)=\int_0^x \frac{\sin t}{t} dt$
提示：正弦积分函数不是初等函数，结果保留为Si(1)-1。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。