山东大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
1、（20分）求极限： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \sqrt{1+x^{2}}-x e^{x^{2}}}{\arcsin x-\sin x}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：化简极限表达式
将分子中的公因子 $x$ 提取出来：
$$\lim_{x \to 0} \frac{x \sqrt{1+x^2} - x e^{x^2}}{\arcsin x - \sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{x(\sqrt{1+x^2} - e^{x^2})}{\arcsin x - \sin x}.$$
提示：注意提取公因子后，分子变为 $x$ 乘以一个差值，不要遗漏 $x$。
步骤 2/6
目标：展开分子中的 $\sqrt{1+x^2}$ 和 $e^{x^2}$
使用泰勒展开：
$$\sqrt{1+x^2} = 1 + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{8}x^4 + O(x^6),$$
$$e^{x^2} = 1 + x^2 + \frac{1}{2}x^4 + O(x^6).$$
相减得：
$$\sqrt{1+x^2} - e^{x^2} = \left(1 + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{8}x^4 + \cdots\right) - \left(1 + x^2 + \frac{1}{2}x^4 + \cdots\right) = -\frac{1}{2}x^2 - \frac{5}{8}x^4 + O(x^6).$$
公式：$\sqrt{1+u}=1+\frac{1}{2}u-\frac{1}{8}u^2+O(u^3)$, $e^u=1+u+\frac{1}{2}u^2+O(u^3)$
提示：展开时注意 $x^2$ 作为整体，展开到 $x^4$ 项，因为后面还要乘以 $x$。
步骤 3/6
目标：计算分子展开式
将上一步结果乘以 $x$：
$$x(\sqrt{1+x^2} - e^{x^2}) = x\left(-\frac{1}{2}x^2 - \frac{5}{8}x^4 + O(x^6)\right) = -\frac{1}{2}x^3 - \frac{5}{8}x^5 + O(x^7).$$
提示：注意 $x \cdot O(x^6) = O(x^7)$，不要漏掉高阶项。
步骤 4/6
目标：展开分母中的 $\arcsin x$ 和 $\sin x$
使用泰勒展开：
$$\arcsin x = x + \frac{1}{6}x^3 + \frac{3}{40}x^5 + O(x^7),$$
$$\sin x = x - \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{120}x^5 + O(x^7).$$
相减得：
$$\arcsin x - \sin x = \left(x + \frac{1}{6}x^3 + \frac{3}{40}x^5 + \cdots\right) - \left(x - \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{120}x^5 + \cdots\right) = \frac{1}{3}x^3 + \left(\frac{3}{40} - \frac{1}{120}\right)x^5 + O(x^7) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{15}x^5 + O(x^7).$$
公式：$\arcsin x = x + \frac{1}{6}x^3 + \frac{3}{40}x^5 + O(x^7)$, $\sin x = x - \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{120}x^5 + O(x^7)$
提示：注意 $\arcsin x$ 和 $\sin x$ 的展开式符号不同，相减后 $x$ 项抵消，$x^3$ 项系数为 $\frac{1}{6} - (-\frac{1}{6}) = \frac{1}{3}$。
步骤 5/6
目标：代入极限并化简
将分子和分母的展开式代入极限：
$$\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{1}{2}x^3 - \frac{5}{8}x^5 + O(x^7)}{\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{15}x^5 + O(x^7)} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{1}{2} - \frac{5}{8}x^2 + O(x^4)}{\frac{1}{3} + \frac{1}{15}x^2 + O(x^4)}.$$
当 $x \to 0$ 时，分子趋于 $-\frac{1}{2}$，分母趋于 $\frac{1}{3}$，因此极限为 $\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}} = -\frac{3}{2}$。
提示：约去 $x^3$ 时注意分子分母同时除以 $x^3$，并注意高阶项的处理。
步骤 6/6
目标：得出最终答案
因此，原极限的值为 $\boxed{-\frac{3}{2}}$。
提示：最终答案要化简为最简分数。
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