📝 山东大学 2023年数学分析真题
第0题
1、（20分）求极限： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \sqrt{1+x^{2}}-x e^{x^{2}}}{\arcsin x-\sin x}$ ．
第0题
2、（20分）求积分： $\iint_{D} e^{-x^{2}-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中
$$
D: 1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 3
$$
$$
D: 1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 3
$$
第0题
3．（20 分）计算积分： $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-m x} \frac{\sin (b x)-\sin (a x)}{x} \mathrm{~d} x$ ，其中 $p>0, b>a>0$ ．
第0题
1、（20 分）设 $a_{n} \geq 0, \lim _{n \rightarrow \infty} \sup \sqrt[n]{a_{n}} \leq 1$ ，证明：对任意的
$l>1$ ，有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{a_{n}}{l^{n}}=0$ ．
$l>1$ ，有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{a_{n}}{l^{n}}=0$ ．
第0题
2、（15 分）已知
$$
a_{1}=2, a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+\frac{1}{a_{n}}\right),(n=1,2,3, \cdots),
$$
证明：
（1）极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$ 存在．
（2）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1\right)$ 收玫。
$$
a_{1}=2, a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+\frac{1}{a_{n}}\right),(n=1,2,3, \cdots),
$$
证明：
（1）极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$ 存在．
（2）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1\right)$ 收玫。
第0题
3、（20 分）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续可积，且对 $[a, b]$ 上的任一连续函数 $g(x)$ ，有 $\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=0$ ，证明：$f(x)$ 在连续点的取值为 0 ．
第0题
1、（15 分）设 $f(x, y)$ 在 $D=\left\{(x, y): x^{2}+y^{2} \leq 1\right\}$ 上非负连续，且 $|f(x, y)| \leq 1$ ，证明：
$$
\begin{aligned}
& \left(\iint_{D} f(x, y) \cos (x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y\right)^{2} \\
& \quad+\left(\iint_{D} f(x, y) \sin (x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y\right)^{2} \leq \pi^{2}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
& \left(\iint_{D} f(x, y) \cos (x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y\right)^{2} \\
& \quad+\left(\iint_{D} f(x, y) \sin (x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y\right)^{2} \leq \pi^{2}
\end{aligned}
$$
第0题
2、（15 分）设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续且恒正，讨论：
$$
F(y)=\int_{0}^{1} \frac{y f(x)}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x
$$
的连续性，并证明你的结论．
$$
F(y)=\int_{0}^{1} \frac{y f(x)}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x
$$
的连续性，并证明你的结论．