山东大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
2、（20分）求积分： $\iint_{D} e^{-x^{2}-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中
$$
D: 1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 3
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：识别积分区域并选择坐标系
积分区域 $D$ 由不等式 $1 \leq x^2 + y^2 \leq 3$ 定义，这是一个圆环区域。由于被积函数 $e^{-x^2-y^2}$ 和区域都具有旋转对称性，使用极坐标变换简化计算。
提示：注意圆环的内半径是1，外半径是$\sqrt{3}$，因为$x^2+y^2=r^2$。
步骤 2/6
目标：进行极坐标变换
令 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$，则 $dxdy = r\,dr\,d\theta$，且 $x^2+y^2 = r^2$。积分区域变为 $r$ 从 $1$ 到 $\sqrt{3}$，$\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$。原积分化为：
$$\iint_D e^{-x^2-y^2} dxdy = \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=1}^{\sqrt{3}} e^{-r^2} \cdot r \, dr \, d\theta.$$
公式：极坐标变换公式：$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $dxdy = r\,dr\,d\theta$
提示：不要忘记雅可比行列式 $r$，这是常见错误。
步骤 3/6
目标：分离变量并先对 $r$ 积分
由于被积函数可分离为 $e^{-r^2} r$ 与 $1$ 的乘积，且积分限独立，可先计算内层积分：
$$\int_{r=1}^{\sqrt{3}} e^{-r^2} r \, dr.$$
提示：注意积分顺序：先对 $r$ 积分，再对 $\theta$ 积分。
步骤 4/6
目标：计算 $r$ 积分（换元法）
令 $u = r^2$，则 $du = 2r\,dr$，即 $r\,dr = \frac{1}{2}du$。当 $r=1$ 时 $u=1$，当 $r=\sqrt{3}$ 时 $u=3$。于是：
$$\int_{r=1}^{\sqrt{3}} e^{-r^2} r\,dr = \frac{1}{2} \int_{u=1}^{3} e^{-u} du = \frac{1}{2} \left( -e^{-u} \right) \Big|_{1}^{3} = \frac{1}{2} (e^{-1} - e^{-3}).$$
公式：换元积分法：$\int f(g(x))g'(x)dx = \int f(u)du$
提示：换元后要更新积分上下限，且注意 $e^{-u}$ 的原函数是 $-e^{-u}$。
步骤 5/6
目标：计算 $\theta$ 积分
外层积分对 $\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$，被积函数为常数（与 $\theta$ 无关）：
$$\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.$$
提示：注意 $\theta$ 的积分限是 $0$ 到 $2\pi$，因为圆环覆盖整个圆周。
步骤 6/6
目标：合并结果得到最终积分值
将 $r$ 积分结果与 $\theta$ 积分结果相乘：
$$\iint_D e^{-x^2-y^2} dxdy = 2\pi \cdot \frac{1}{2} (e^{-1} - e^{-3}) = \pi (e^{-1} - e^{-3}).$$
提示：最终结果可以写成 $\pi\left(\frac{1}{e} - \frac{1}{e^3}\right)$。
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