山东大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
3．（20 分）计算积分： $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-m x} \frac{\sin (b x)-\sin (a x)}{x} \mathrm{~d} x$ ，其中 $p>0, b>a>0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用三角恒等式化简被积函数
首先，利用三角恒等式 $\sin(bx) - \sin(ax) = 2 \cos\left(\frac{(a+b)x}{2}\right) \sin\left(\frac{(b-a)x}{2}\right)$，将原积分化为：
$$I = \int_0^{+\infty} e^{-mx} \frac{2 \cos\left(\frac{a+b}{2}x\right) \sin\left(\frac{b-a}{2}x\right)}{x} \, dx = 2 \int_0^{+\infty} e^{-mx} \frac{\sin\left(\frac{b-a}{2}x\right)}{x} \cos\left(\frac{a+b}{2}x\right) \, dx.$$
公式：$\sin(bx) - \sin(ax) = 2 \cos\left(\frac{(a+b)x}{2}\right) \sin\left(\frac{(b-a)x}{2}\right)$
提示：注意三角恒等式的正确应用，确保系数和角度正确。
步骤 2/6
目标：引入含参积分简化问题
考虑含参积分 $F(t) = \int_0^{+\infty} e^{-mx} \frac{\sin(tx)}{x} \, dx$，其中 $t > 0$。则原积分可表示为 $I = F(b) - F(a)$，因为 $\sin(bx) - \sin(ax)$ 的积分等于 $F(b) - F(a)$。
公式：$F(t) = \int_0^{+\infty} e^{-mx} \frac{\sin(tx)}{x} \, dx$
提示：注意参数 $t$ 对应的是 $\sin$ 中的系数，且 $b > a > 0$。
步骤 3/6
目标：对含参积分求导
对 $F(t)$ 关于 $t$ 求导，利用 Leibniz 积分法则（积分号下求导）：
$$F'(t) = \int_0^{+\infty} e^{-mx} \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\sin(tx)}{x} \right) \, dx = \int_0^{+\infty} e^{-mx} \cos(tx) \, dx.$$
公式：$\frac{\partial}{\partial t} \sin(tx) = x \cos(tx)$
提示：求导时注意 $\frac{\partial}{\partial t} \frac{\sin(tx)}{x} = \cos(tx)$，因为 $x$ 与 $t$ 无关。
步骤 4/6
目标：计算导数积分
计算 $\int_0^{+\infty} e^{-mx} \cos(tx) \, dx$。这是一个 Laplace 变换，结果为：
$$\int_0^{+\infty} e^{-mx} \cos(tx) \, dx = \frac{m}{m^2 + t^2}.$$
（可通过分部积分或查表得到。）
公式：$\int_0^{+\infty} e^{-mx} \cos(tx) \, dx = \frac{m}{m^2 + t^2}$
提示：注意 $m > 0$ 保证积分收敛，且结果分母为 $m^2 + t^2$。
步骤 5/6
目标：积分得到 F(t) 表达式
由 $F'(t) = \frac{m}{m^2 + t^2}$，对 $t$ 积分得：
$$F(t) = \int \frac{m}{m^2 + t^2} \, dt = \arctan\left(\frac{t}{m}\right) + C.$$
利用初始条件 $F(0) = \int_0^{+\infty} e^{-mx} \frac{\sin(0)}{x} \, dx = 0$，代入得 $0 = \arctan(0) + C = 0 + C$，故 $C = 0$。因此 $F(t) = \arctan\left(\frac{t}{m}\right)$。
公式：$\int \frac{m}{m^2 + t^2} \, dt = \arctan\left(\frac{t}{m}\right) + C$
提示：注意积分常数由 $F(0)=0$ 确定，且 $\arctan(0)=0$。
步骤 6/6
目标：代入原积分得到结果
原积分 $I = F(b) - F(a) = \arctan\left(\frac{b}{m}\right) - \arctan\left(\frac{a}{m}\right)$。因此，
$$\boxed{\displaystyle \int_0^{+\infty} e^{-mx} \frac{\sin(bx) - \sin(ax)}{x} \, dx = \arctan\left(\frac{b}{m}\right) - \arctan\left(\frac{a}{m}\right)}.$$
提示：注意 $b > a > 0$，结果为正，且 $m > 0$。
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