山东大学 2023年数学分析第0题

首先，对于任意实数 $y$，考虑被积函数 $\frac{y f(x)}{x^2 + y^2}$。当 $y = 0$ 时，被积函数恒为 $0$，因此 $F(0) = 0$。当 $y \neq 0$ 时，分母 $x^2 + y^2 \geq y^2 > 0$，且 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，故被积函数在 $[0,1]$ 上连续，积分存在。所以 $F(y)$ 对所有实数 $y$ 有定义。

对于任意固定的 $y_0 \neq 0$，取一个闭区间不包含 $0$，例如 $|y| \geq \delta > 0$。由于 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，存在最大值 $M = \max_{x \in [0,1]} f(x)$。则对所有 $x \in [0,1]$，有 $\left| \frac{y f(x)}{x^2 + y^2} \right| \leq \frac{|y| M}{\delta^2} \leq \frac{|y_0|+\delta}{\delta^2} M$，这是一个与 $x$ 无关的可积控制函数。由含参积分连续性定理，$F(y)$ 在 $y \neq 0$ 处连续。

考虑 $y \to 0^+$ 的情形。由于 $f(x)$ 连续且恒正，$f(0) > 0$。存在 $\delta > 0$，使得当 $0 \leq x \leq \delta$ 时，$f(x) \geq \frac{f(0)}{2} > 0$。于是有下界估计： $$F(y) \geq \int_0^\delta \frac{y \cdot \frac{f(0)}{2}}{x^2 + y^2} \, dx = \frac{f(0)}{2} \arctan\frac{\delta}{y}.$$ 当 $y \to 0^+$ 时，$\arctan(\delta/y) \to \pi/2$，所以 $\liminf_{y \to 0^+} F(y) \geq \frac{\pi f(0)}{4} > 0$。而 $F(0) = 0$，故右极限不等于函数值。类似地，当 $y \to 0^-$ 时，$F(y)$ 趋于负值，因此 $y=0$ 处不连续。

实际上，可以更精确地计算极限。令 $u = x/y$，则当 $y \to 0^+$ 时， $$F(y) = \int_0^1 \frac{y f(x)}{x^2 + y^2} \, dx = \int_0^{1/y} \frac{f(yu)}{1+u^2} \, du.$$ 由 $f$ 的连续性，$f(yu) \to f(0)$，且被积函数有控制函数 $\frac{M}{1+u^2}$，由控制收敛定理得 $$\lim_{y \to 0^+} F(y) = f(0) \int_0^\infty \frac{1}{1+u^2} \, du = \frac{\pi}{2} f(0).$$ 同理，$\lim_{y \to 0^-} F(y) = -\frac{\pi}{2} f(0)$。因此 $y=0$ 是跳跃间断点。

综合以上分析：$F(y)$ 在 $y \neq 0$ 时连续，在 $y = 0$ 处不连续（跳跃间断点，跳跃度为 $\pi f(0)$）。

综上所述，$F(y)$ 在 $(-\infty,0)$ 和 $(0,+\infty)$ 上连续，在 $y=0$ 处不连续，且 $$\lim_{y \to 0^+} F(y) = \frac{\pi}{2} f(0), \quad \lim_{y \to 0^-} F(y) = -\frac{\pi}{2} f(0), \quad F(0)=0.$$