山东大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
1、（20 分）设 $a_{n} \geq 0, \lim _{n \rightarrow \infty} \sup \sqrt[n]{a_{n}} \leq 1$ ，证明：对任意的
$l>1$ ，有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{a_{n}}{l^{n}}=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解已知条件并转化
已知 $a_n \geq 0$ 且 $\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n} \leq 1$。根据上极限的定义，对任意 $\varepsilon > 0$，存在正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，有 $\sqrt[n]{a_n} < 1 + \varepsilon$，即 $a_n < (1+\varepsilon)^n$。
公式：$\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n} \leq 1$
提示：注意上极限的定义：$\limsup_{n\to\infty} x_n \leq L$ 意味着对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N$，当 $n > N$ 时 $x_n < L+\varepsilon$。
步骤 2/5
目标：选取合适的 $\varepsilon$
由于 $l > 1$，取 $\varepsilon = \frac{l-1}{2} > 0$。则存在 $N_1$，当 $n > N_1$ 时，有 $a_n < (1+\varepsilon)^n = \left(1+\frac{l-1}{2}\right)^n = \left(\frac{l+1}{2}\right)^n$。
公式：$\varepsilon = \frac{l-1}{2}$
提示：选取 $\varepsilon$ 的目的是使 $1+\varepsilon < l$，从而构造出小于1的等比数列。
步骤 3/5
目标：建立不等式估计
当 $n > N_1$ 时，有 $0 \leq \frac{a_n}{l^n} < \frac{\left(\frac{l+1}{2}\right)^n}{l^n} = \left(\frac{l+1}{2l}\right)^n$。
公式：$\frac{a_n}{l^n} < \left(\frac{l+1}{2l}\right)^n$
提示：注意 $a_n \geq 0$，所以左边有下界0。
步骤 4/5
目标：分析等比数列的极限
由于 $l > 1$，计算 $\frac{l+1}{2l} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2l} < \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$，且 $\frac{l+1}{2l} > 0$，所以 $0 < \frac{l+1}{2l} < 1$。因此 $\lim_{n\to\infty} \left(\frac{l+1}{2l}\right)^n = 0$。
公式：$\lim_{n\to\infty} q^n = 0$ 当 $|q| < 1$
提示：确保 $\frac{l+1}{2l} < 1$ 成立，这需要 $l>1$。
步骤 5/5
目标：应用夹逼定理得出结论
由 $0 \leq \frac{a_n}{l^n} < \left(\frac{l+1}{2l}\right)^n$ 且 $\lim_{n\to\infty} \left(\frac{l+1}{2l}\right)^n = 0$，根据夹逼定理，得 $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{l^n} = 0$。
公式：夹逼定理
提示：夹逼定理要求不等式两边极限相等，这里左边为0，右边为0，中间趋于0。
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