山东大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
3、（20 分）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续可积，且对 $[a, b]$ 上的任一连续函数 $g(x)$ ，有 $\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=0$ ，证明：$f(x)$ 在连续点的取值为 0 ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：设定连续点并反证假设
设 $x_0$ 是 $f(x)$ 的任一连续点。假设 $f(x_0) \neq 0$，不妨设 $f(x_0) > 0$。由连续性，存在 $\delta > 0$，使得当 $x \in [x_0-\delta, x_0+\delta] \cap [a,b]$ 时，$f(x) > \frac{f(x_0)}{2} > 0$。
提示：注意连续性定义：存在邻域使得函数值大于正数的一半。
步骤 2/4
目标：构造连续函数 g(x)
构造连续函数 $g(x)$ 如下：
$$g(x) = \begin{cases}
1 - \frac{|x-x_0|}{\delta}, & x \in [x_0-\delta, x_0+\delta] \cap [a,b], \\
0, & \text{其他}.
\end{cases}$$
则 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $g(x) \geq 0$，$g(x_0)=1$。
提示：g(x) 是连续函数，注意分段点处连续。
步骤 3/4
目标：计算积分并导出矛盾
于是
$$\int_a^b f(x)g(x)\,dx = \int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta} f(x)g(x)\,dx \geq \frac{f(x_0)}{2} \int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta} g(x)\,dx > 0,$$
与已知条件 $\int_a^b f(x)g(x)\,dx = 0$ 矛盾。故 $f(x_0)=0$。
提示：注意积分区间和不等式方向，g(x)非负且局部为正。
步骤 4/4
目标：由任意性得出结论
由 $x_0$ 的任意性，$f(x)$ 在所有连续点取值为0。
提示：连续点集可能不是整个区间，但结论成立。
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