山东大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
2、（15 分）已知
$$
a_{1}=2, a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+\frac{1}{a_{n}}\right),(n=1,2,3, \cdots),
$$
证明：
（1）极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$ 存在．
（2）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1\right)$ 收玫。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：证明数列有下界
由均值不等式，对于 $a_n > 0$，有 $a_{n+1} = \frac{1}{2}\left(a_n + \frac{1}{a_n}\right) \ge \frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{a_n \cdot \frac{1}{a_n}} = 1$，等号成立当且仅当 $a_n = 1$。由于 $a_1 = 2 > 1$，归纳可得 $a_n > 1$ 对所有 $n$ 成立，故数列有下界 $1$。
公式：a_{n+1} \ge 1
提示：注意均值不等式等号成立条件，需验证 $a_n$ 是否可能等于 $1$。
步骤 2/7
目标：证明数列单调递减
计算 $a_{n+1} - a_n = \frac{1}{2}\left(a_n + \frac{1}{a_n}\right) - a_n = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{a_n} - a_n\right) = \frac{1 - a_n^2}{2a_n}$。由于 $a_n > 1$，故 $1 - a_n^2 < 0$，所以 $a_{n+1} - a_n < 0$，即数列严格递减。
公式：a_{n+1} - a_n = \frac{1 - a_n^2}{2a_n}
提示：注意 $a_n > 1$ 的结论来自上一步，需确保已证明。
步骤 3/7
目标：利用单调有界定理得出极限存在并求值
由单调递减且有下界，根据单调有界定理，极限 $\lim_{n \to \infty} a_n$ 存在，记为 $A$。对递推式两边取极限得 $A = \frac{1}{2}\left(A + \frac{1}{A}\right)$，解得 $A^2 = 1$，由 $a_n > 1$ 得 $A = 1$。
公式：A = \frac{1}{2}\left(A + \frac{1}{A}\right)
提示：取极限时需注意极限存在的先决条件，且解方程时舍去负根。
步骤 4/7
目标：化简级数通项
由递推式 $a_{n+1} = \frac{1}{2}\left(a_n + \frac{1}{a_n}\right)$，得 $\frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{a_n}{\frac{1}{2}(a_n + 1/a_n)} = \frac{2a_n^2}{a_n^2 + 1}$。于是 $\frac{a_n}{a_{n+1}} - 1 = \frac{2a_n^2}{a_n^2 + 1} - 1 = \frac{a_n^2 - 1}{a_n^2 + 1}$。
公式：\frac{a_n}{a_{n+1}} - 1 = \frac{a_n^2 - 1}{a_n^2 + 1}
提示：化简时注意代数运算的准确性。
步骤 5/7
目标：建立 $a_n^2-1$ 的递推关系
计算 $a_{n+1}^2 = \frac{1}{4}\left(a_n^2 + 2 + \frac{1}{a_n^2}\right)$，则 $a_{n+1}^2 - 1 = \frac{1}{4}\left(a_n^2 + \frac{1}{a_n^2} - 2\right) = \frac{1}{4}\left(a_n - \frac{1}{a_n}\right)^2 = \frac{(a_n^2 - 1)^2}{4a_n^2}$。因此 $\frac{a_{n+1}^2 - 1}{a_n^2 - 1} = \frac{a_n^2 - 1}{4a_n^2} < \frac{1}{4}$（因为 $a_n^2 > 1$）。
公式：a_{n+1}^2 - 1 = \frac{(a_n^2 - 1)^2}{4a_n^2}
提示：注意平方差公式的运用，以及不等式放缩的方向。
步骤 6/7
目标：估计 $a_n^2-1$ 的上界
由递推不等式 $a_{n+1}^2 - 1 < \frac{1}{4}(a_n^2 - 1)$，反复迭代得 $a_n^2 - 1 < \frac{1}{4^{n-1}}(a_1^2 - 1) = \frac{3}{4^{n-1}}$。
公式：a_n^2 - 1 < \frac{3}{4^{n-1}}
提示：迭代时注意初始项 $n=1$ 对应 $a_1^2-1=3$。
步骤 7/7
目标：利用比较判别法证明级数收敛
由于 $a_n^2 + 1 \ge 2$，故 $\frac{a_n^2 - 1}{a_n^2 + 1} \le \frac{a_n^2 - 1}{2} < \frac{3}{2 \cdot 4^{n-1}}$。而几何级数 $\sum \frac{3}{2 \cdot 4^{n-1}}$ 收敛，由比较判别法，原级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{a_n}{a_{n+1}} - 1\right)$ 收敛。
公式：\frac{a_n^2 - 1}{a_n^2 + 1} < \frac{3}{2 \cdot 4^{n-1}}
提示：比较判别法需确保通项非负，此处 $a_n>1$ 故通项为正。
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