山东大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
1、（15 分）设 $f(x, y)$ 在 $D=\left\{(x, y): x^{2}+y^{2} \leq 1\right\}$ 上非负连续，且 $|f(x, y)| \leq 1$ ，证明：
$$
\begin{aligned}
& \left(\iint_{D} f(x, y) \cos (x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y\right)^{2} \\
& \quad+\left(\iint_{D} f(x, y) \sin (x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y\right)^{2} \leq \pi^{2}
\end{aligned}
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：定义积分变量
设 $I = \iint_D f(x,y) \cos(x+y) \,dx\,dy$，$J = \iint_D f(x,y) \sin(x+y) \,dx\,dy$。则目标不等式为 $I^2 + J^2 \leq \pi^2$。
提示：注意区分 $I$ 和 $J$ 的定义，确保积分区域是单位圆盘 $D$。
步骤 2/6
目标：构造复积分
考虑复积分 $I + iJ = \iint_D f(x,y) e^{i(x+y)} \,dx\,dy$，其中 $e^{i(x+y)} = \cos(x+y) + i\sin(x+y)$。则 $I^2 + J^2 = |I + iJ|^2$。
公式：$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$
提示：复数的模平方等于实部平方加虚部平方，注意 $|I+iJ|^2 = I^2+J^2$。
步骤 3/6
目标：应用柯西-施瓦茨不等式
由柯西-施瓦茨不等式（积分形式）：$\left| \iint_D f(x,y) e^{i(x+y)} \,dx\,dy \right|^2 \leq \left( \iint_D |f(x,y)| \,dx\,dy \right)^2$。
公式：$\left| \int g \right|^2 \leq \left( \int |g| \right)^2$
提示：柯西-施瓦茨不等式要求被积函数平方可积，这里 $f$ 连续且 $|f|\leq 1$，满足条件。注意不等式方向。
步骤 4/6
目标：利用非负性和有界性放缩
由于 $f(x,y)$ 非负且 $|f(x,y)| \leq 1$，有 $|f(x,y)| = f(x,y) \leq 1$。因此 $\iint_D |f(x,y)| \,dx\,dy \leq \iint_D 1 \,dx\,dy$。
公式：$|f| \leq 1$ 且 $f \geq 0$ 推出 $|f| = f \leq 1$
提示：注意非负性条件，否则 $|f|$ 可能不等于 $f$。
步骤 5/6
目标：计算单位圆盘面积
区域 $D$ 是单位圆盘，面积为 $\pi$，即 $\iint_D 1 \,dx\,dy = \pi$。
公式：$\iint_{x^2+y^2\leq 1} 1 \,dx\,dy = \pi$
提示：单位圆面积公式 $\pi r^2$，这里 $r=1$。
步骤 6/6
目标：整合不等式
由以上步骤得 $I^2 + J^2 = |I+iJ|^2 \leq \left( \iint_D |f| \right)^2 \leq \pi^2$，即 $I^2+J^2 \leq \pi^2$。
提示：注意不等式的传递性，最终结论成立。
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