山东大学 2026年数学分析第3题
📝 题目
3．已知定义在 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 1\right\}$ 上二阶连续可微的函数 $\displaystyle f(x, y)$ 满足：
$$
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=x^{2}+y^{2}
$$
计算： $\displaystyle \iint_{D}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \frac{\partial f}{\partial x}+\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \frac{\partial f}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：理解被积表达式的几何意义
注意到向量 \(\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}, \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)\) 是径向单位向量 \(\mathbf{e}_r\)，因此被积函数就是 \(f\) 沿径向的方向导数 \(\frac{\partial f}{\partial r}\)。原积分化为 \(\iint_D \frac{\partial f}{\partial r} \, \mathrm{d}x\mathrm{d}y\)。
公式：\frac{\partial f}{\partial r} = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \frac{\partial f}{\partial y}
提示：注意方向导数与梯度点乘单位方向向量的关系。
步骤 2/8
目标：用极坐标变换简化积分
令 \(x = r\cos\theta,\; y = r\sin\theta\)，则面积元 \(\mathrm{d}x\mathrm{d}y = r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\)，且 \(\frac{\partial f}{\partial r}\) 不变。积分区域为 \(0 \le r \le 1,\; 0 \le \theta \le 2\pi\)，于是原积分化为 \(\int_0^{2\pi} \int_0^1 \frac{\partial f}{\partial r} \, r \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\theta\)。
公式：\iint_D \frac{\partial f}{\partial r} \, \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_0^{2\pi} \int_0^1 \frac{\partial f}{\partial r} \, r \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\theta
提示：极坐标变换时不要漏掉雅可比行列式 \(r\)。
步骤 3/8
目标：对径向积分使用分部积分
对 \(\int_0^1 r \frac{\partial f}{\partial r} \, \mathrm{d}r\) 分部积分：令 \(u = r,\; \mathrm{d}v = \frac{\partial f}{\partial r} \mathrm{d}r\)，则 \(\mathrm{d}u = \mathrm{d}r,\; v = f\)。于是 \(\int_0^1 r \frac{\partial f}{\partial r} \, \mathrm{d}r = [r f]_{r=0}^{r=1} - \int_0^1 f \, \mathrm{d}r = f(1,\theta) - \int_0^1 f(r,\theta) \, \mathrm{d}r\)。代入得 \(I = \int_0^{2\pi} \left[ f(1,\theta) - \int_0^1 f(r,\theta) \, \mathrm{d}r \right] \mathrm{d}\theta\)。
公式：\int_0^1 r \frac{\partial f}{\partial r} \, \mathrm{d}r = f(1,\theta) - \int_0^1 f(r,\theta) \, \mathrm{d}r
提示：注意边界项中 \(r=0\) 时 \(r f=0\)，因为 \(f\) 连续。
步骤 4/8
目标：将积分表示为边界积分与面积分之差
将上一步结果写为 \(I = \oint_{\partial D} f \, \mathrm{d}s - \int_0^{2\pi} \int_0^1 f(r,\theta) \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\theta\)，其中 \(\mathrm{d}s = \mathrm{d}\theta\) 是单位圆周上的弧长微元。
公式：I = \oint_{\partial D} f \, \mathrm{d}s - \iint_D \frac{f}{r} \, \mathrm{d}x\mathrm{d}y
提示：注意第二项中 \(\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\) 与面积元 \(r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\) 的关系，实际上 \(\int_0^{2\pi}\int_0^1 f \, \mathrm{d}r\mathrm{d}\theta = \iint_D \frac{f}{r} \, \mathrm{d}x\mathrm{d}y\)。
步骤 5/8
目标：利用散度定理构造向量场
考虑向量场 \(\mathbf{G} = \frac{f}{\sqrt{x^2+y^2}} (x, y)\)，计算其散度：\(\nabla \cdot \mathbf{G} = \frac{f}{\sqrt{x^2+y^2}} + \left( \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \frac{\partial f}{\partial y} \right)\)。因此原积分 \(I = \iint_D \left( \nabla \cdot \mathbf{G} - \frac{f}{\sqrt{x^2+y^2}} \right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y\)。
公式：\nabla \cdot \mathbf{G} = \frac{f}{r} + \frac{\partial f}{\partial r}
提示：计算散度时注意对 \(1/r\) 的求导，最终会抵消得到简洁形式。
步骤 6/8
目标：对散度项应用散度定理
由散度定理，\(\iint_D \nabla \cdot \mathbf{G} \, \mathrm{d}A = \oint_{\partial D} \mathbf{G} \cdot \mathbf{n} \, \mathrm{d}s\)。在边界 \(r=1\) 上，\(\mathbf{n} = (x,y)\)，\(\mathbf{G} = (x f, y f)\)，故 \(\mathbf{G} \cdot \mathbf{n} = x^2 f + y^2 f = f\)。因此 \(\iint_D \nabla \cdot \mathbf{G} \, \mathrm{d}A = \oint_{\partial D} f \, \mathrm{d}s\)。代入得 \(I = \oint_{\partial D} f \, \mathrm{d}s - \iint_D \frac{f}{r} \, \mathrm{d}x\mathrm{d}y\)，与第四步结果一致。
公式：\iint_D \nabla \cdot \mathbf{G} \, \mathrm{d}A = \oint_{\partial D} f \, \mathrm{d}s
提示：注意边界上 \(\sqrt{x^2+y^2}=1\)，简化了计算。
步骤 7/8
目标：利用已知泊松方程求边界积分
已知 \(\Delta f = x^2 + y^2 = r^2\)。对 \(\Delta f\) 在 \(D\) 上积分并应用散度定理：\(\iint_D r^2 \, \mathrm{d}A = \oint_{\partial D} \frac{\partial f}{\partial n} \, \mathrm{d}s\)。由于外法向就是径向，\(\frac{\partial f}{\partial n} = \frac{\partial f}{\partial r}\)。左边计算得 \(\iint_D r^2 \, \mathrm{d}A = \int_0^{2\pi} \int_0^1 r^3 \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\theta = \frac{\pi}{2}\)，故 \(\oint_{\partial D} \frac{\partial f}{\partial r} \, \mathrm{d}s = \frac{\pi}{2}\)。但此结果无法直接给出 \(\oint f \, \mathrm{d}s\)，需另寻方法。
公式：\iint_D r^2 \, \mathrm{d}A = \frac{\pi}{2} = \oint_{\partial D} \frac{\partial f}{\partial r} \, \mathrm{d}s
提示：注意这里得到的是 \(\partial f/\partial r\) 的边界积分，不是 \(f\) 的。
步骤 8/8
目标：构造辅助函数并利用格林函数或对称性求解
由于 \(\Delta f = r^2\)，考虑特解 \(f_0 = \frac{r^4}{12}\) 满足 \(\Delta f_0 = r^2\)。令 \(g = f - f_0\)，则 \(\Delta g = 0\)（调和函数）。由调和函数的平均值性质，\(\oint_{\partial D} g \, \mathrm{d}s = 2\pi g(0,0)\)。而 \(\iint_D \frac{g}{r} \, \mathrm{d}x\mathrm{d}y\) 可通过极坐标计算。但更直接的方法：注意到原积分 \(I = \oint f \, \mathrm{d}s - \iint \frac{f}{r} \, \mathrm{d}x\mathrm{d}y\)，代入 \(f = g + r^4/12\)，利用 \(g\) 的调和性及对称性可消去 \(g\) 的贡献。计算得 \(\oint f \, \mathrm{d}s = \oint g \, \mathrm{d}s + \frac{1}{12} \oint 1 \, \mathrm{d}s = 2\pi g(0) + \frac{2\pi}{12}\)，而 \(\iint \frac{f}{r} \, \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iint \frac{g}{r} \, \mathrm{d}x\mathrm{d}y + \frac{1}{12} \iint r^3 \, \mathrm{d}x\mathrm{d}y\)。由于 \(g\) 调和，\(\iint_D \frac{g}{r} \, \mathrm{d}x\mathrm{d}y = 2\pi \int_0^1 g(0) \, \mathrm{d}r = 2\pi g(0)\)（利用极坐标和平均值性质）。代入得 \(I = [2\pi g(0) + \frac{\pi}{6}] - [2\pi g(0) + \frac{1}{12} \cdot \frac{2\pi}{4}] = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{24} = \frac{\pi}{8}\)。
公式：I = \frac{\pi}{8}
提示：利用调和函数的平均值性质时，注意 \(\iint_D \frac{g}{r} \, \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_0^{2\pi} \int_0^1 g(r,\theta) \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\theta\)，而调和函数的面积平均等于圆心值。
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