山东大学 2026年数学分析第2题
📝 题目
2．求 $a$ 的范围，使得 $\displaystyle f(x)=x^{a}$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 一致连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：回顾一致连续的定义和常用判定方法
函数 $f$ 在区间 $I$ 上一致连续，是指：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得对任意 $x_1, x_2 \in I$，只要 $|x_1 - x_2| < \delta$，就有 $|f(x_1)-f(x_2)| < \varepsilon$。对于无穷区间上的幂函数，一个常见方法是看导数是否有界。如果导数在区间上有界，则函数是 Lipschitz 连续的，从而一致连续。但导数无界时，仍可能一致连续（例如 $\sqrt{x}$ 在 $[0,+\infty)$ 上），因此需要更细致的分析。
公式：一致连续定义：$\forall \varepsilon>0,\ \exists \delta>0,\ \forall x_1,x_2\in I,\ |x_1-x_2|<\delta \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$
提示：注意导数有界是充分条件而非必要条件，需分情况讨论。
步骤 2/6
目标：讨论情况1：a ≥ 1
当 $a > 1$ 时，导数为 $f'(x) = a x^{a-1}$，当 $x \to +\infty$ 时导数趋于无穷大。取两点 $x$ 和 $x+h$，由中值定理，存在 $\xi \in (x, x+h)$ 使得 $(x+h)^a - x^a = a \xi^{a-1} h$。当 $x$ 很大时，$\xi^{a-1}$ 很大，即使 $h$ 固定很小，差值也可能超过任意给定的 $\varepsilon$，因此 $a>1$ 时不一致连续。当 $a=1$ 时，$f(x)=x$，满足 $|f(x_1)-f(x_2)| = |x_1-x_2|$，取 $\delta = \varepsilon$ 即得一致连续。
公式：中值定理：$(x+h)^a - x^a = a \xi^{a-1} h$，其中 $\xi \in (x, x+h)$
提示：a=1 是临界情况，需单独验证。
步骤 3/6
目标：讨论情况2：0 < a < 1
当 $0 < a < 1$ 时，导数为 $f'(x) = a x^{a-1}$。由于 $a-1 < 0$，导数在 $x \ge 1$ 上单调递减，最大值在 $x=1$ 处，为 $a$，因此导数有界（$|f'(x)| \le a$）。有界导数意味着函数满足 Lipschitz 条件，从而一致连续。
公式：导数有界：$|f'(x)| = a x^{a-1} \le a$ 对 $x \ge 1$ 成立
提示：此时导数最大值在左端点，区间内导数有界，可直接使用 Lipschitz 连续判定。
步骤 4/6
目标：讨论情况3：a = 0
当 $a=0$ 时，$f(x)=1$ 为常数函数。对任意 $\varepsilon > 0$，取任意 $\delta > 0$（例如 $\delta = 1$），当 $|x_1-x_2|<\delta$ 时，$|f(x_1)-f(x_2)| = 0 < \varepsilon$，因此一致连续。
公式：常数函数：$f(x)=1$，差值恒为0
提示：常数函数总是满足一致连续定义。
步骤 5/6
目标：讨论情况4：a < 0
当 $a < 0$ 时，函数递减且趋于0。导数为 $f'(x) = a x^{a-1}$，由于 $a-1 < -1$，导数绝对值在 $x \ge 1$ 上单调递减，最大值在 $x=1$ 处，为 $|a|$，因此导数有界。有界导数再次保证 Lipschitz 连续，从而一致连续。
公式：导数绝对值有界：$|f'(x)| = |a| x^{a-1} \le |a|$ 对 $x \ge 1$ 成立
提示：注意 a<0 时导数为负，但绝对值有界，不影响 Lipschitz 条件。
步骤 6/6
目标：综合所有情况得出结论
综合以上分析：
- $a > 1$：不一致连续；
- $a = 1$：一致连续；
- $a < 1$：一致连续（包括 $0
公式：结论：$a \le 1$
提示：注意边界 $a=1$ 包含在内，$a>1$ 被排除。
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