山东大学 2026年数学分析第1题
📝 题目
1．求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n\left(e-\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析表达式结构
当 $n \to \infty$ 时，$(1+\frac{1}{n})^n \to e$，因此括号内 $e - (1+\frac{1}{n})^n$ 趋于 $0$，而外面乘以 $n$，形成“无穷小乘以无穷大”的不定式，需要更精细的展开。
公式：$\lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n})^n = e$
提示：注意识别极限类型，不能直接代入求值。
步骤 2/7
目标：将 $(1+\frac{1}{n})^n$ 转化为指数形式
利用恒等式 $(1+\frac{1}{n})^n = e^{n \ln(1+\frac{1}{n})}$，然后对 $\ln(1+\frac{1}{n})$ 进行泰勒展开。
公式：$(1+\frac{1}{n})^n = e^{n \ln(1+\frac{1}{n})}$
提示：指数形式便于后续展开。
步骤 3/7
目标：展开 $\ln(1+\frac{1}{n})$
当 $x \to 0$ 时，$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$。令 $x = \frac{1}{n}$，得 $\ln(1+\frac{1}{n}) = \frac{1}{n} - \frac{1}{2n^2} + \frac{1}{3n^3} - \cdots$。
公式：$\ln(1+\frac{1}{n}) = \frac{1}{n} - \frac{1}{2n^2} + O(\frac{1}{n^3})$
提示：展开到足够高阶，以便后续消去 $n$ 因子。
步骤 4/7
目标：计算指数中的幂次
乘以 $n$ 得 $n \ln(1+\frac{1}{n}) = 1 - \frac{1}{2n} + \frac{1}{3n^2} - \cdots$。
公式：$n \ln(1+\frac{1}{n}) = 1 - \frac{1}{2n} + O(\frac{1}{n^2})$
提示：注意保留 $\frac{1}{n}$ 项，因为后面要乘以 $n$。
步骤 5/7
目标：对指数函数进行泰勒展开
令 $y = -\frac{1}{2n} + O(\frac{1}{n^2})$，则 $(1+\frac{1}{n})^n = e^{1+y} = e \cdot e^y$。展开 $e^y = 1 + y + \frac{y^2}{2} + O(y^3)$，代入 $y = -\frac{1}{2n} + \frac{1}{3n^2} + \cdots$，得 $e^y = 1 - \frac{1}{2n} + \frac{1}{8n^2} + O(\frac{1}{n^3})$。
公式：$(1+\frac{1}{n})^n = e \left(1 - \frac{1}{2n} + \frac{1}{8n^2} + O(\frac{1}{n^3})\right)$
提示：计算 $y^2/2$ 时注意交叉项，确保精度到 $\frac{1}{n^2}$。
步骤 6/7
目标：代入原极限表达式
计算 $e - (1+\frac{1}{n})^n = e - e\left(1 - \frac{1}{2n} + \frac{1}{8n^2} + O(\frac{1}{n^3})\right) = e \cdot \frac{1}{2n} - e \cdot \frac{1}{8n^2} + O(\frac{1}{n^3})$。再乘以 $n$ 得 $n\left(e - (1+\frac{1}{n})^n\right) = \frac{e}{2} - \frac{e}{8n} + O(\frac{1}{n^2})$。
公式：$n\left(e - (1+\frac{1}{n})^n\right) = \frac{e}{2} - \frac{e}{8n} + O(\frac{1}{n^2})$
提示：乘以 $n$ 后，$\frac{1}{n}$ 项变为常数，高阶项趋于0。
步骤 7/7
目标：取极限得到最终结果
当 $n \to \infty$ 时，$\frac{e}{8n} \to 0$，$O(\frac{1}{n^2}) \to 0$，因此极限为 $\frac{e}{2}$。
公式：$\lim_{n \to \infty} n\left(e - (1+\frac{1}{n})^n\right) = \frac{e}{2}$
提示：确认极限存在且有限，结果简洁。
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