山东大学 2026年数学分析第4题
📝 题目
4．对于 $\displaystyle k>0$ ，若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{n}}{n^{k}}=b$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{b_{n}}{n^{k}}=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：引入部分和记号
令 $S_n = b_1 + b_2 + \cdots + b_n$，则已知条件可写为 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{n^k} = b$。
公式：$S_n = \sum_{i=1}^n b_i$
提示：注意 $S_n$ 是前 $n$ 项和，不是通项。
步骤 2/6
目标：用部分和表示通项
由 $b_n = S_n - S_{n-1}$，可得 $\displaystyle \frac{b_n}{n^k} = \frac{S_n - S_{n-1}}{n^k}$。
公式：$b_n = S_n - S_{n-1}$
提示：这里 $n \ge 2$，但极限 $n \to \infty$ 不影响。
步骤 3/6
目标：拆分表达式
将 $\displaystyle \frac{b_n}{n^k}$ 拆分为 $\displaystyle \frac{S_n}{n^k} - \frac{S_{n-1}}{n^k}$。
公式：$\frac{b_n}{n^k} = \frac{S_n}{n^k} - \frac{S_{n-1}}{n^k}$
提示：拆分后便于分别利用已知极限。
步骤 4/6
目标：处理第一项极限
由已知条件直接得 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{n^k} = b$。
公式：$\lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{n^k} = b$
提示：这是直接代入已知条件。
步骤 5/6
目标：处理第二项极限
将第二项改写为 $\displaystyle \frac{S_{n-1}}{n^k} = \frac{S_{n-1}}{(n-1)^k} \cdot \left(\frac{n-1}{n}\right)^k$。由已知，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{S_{n-1}}{(n-1)^k} = b$，而 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n-1}{n}\right)^k = \lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^k = 1$。
公式：$\frac{S_{n-1}}{n^k} = \frac{S_{n-1}}{(n-1)^k} \cdot \left(1 - \frac{1}{n}\right)^k$
提示：注意 $n-1$ 与 $n$ 的关系，以及极限的乘法法则。
步骤 6/6
目标：合并极限结果
因此 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{S_{n-1}}{n^k} = b \cdot 1 = b$。于是 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{b_n}{n^k} = b - b = 0$。
公式：$\lim_{n \to \infty} \frac{b_n}{n^k} = 0$
提示：两个极限相减得零，注意 $b$ 是有限常数。
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