山西大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
一、利用定积分计算极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\frac{1}{n^{2}+1}+\frac{1}{n^{2}+2^{2}}+\ldots+\frac{1}{2 n^{2}}\right)$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：识别求和范围与通项形式
求和式为 $\frac{1}{n^2+1}+\frac{1}{n^2+2^2}+\ldots+\frac{1}{2n^2}$。最后一项分母为 $2n^2$，即 $n^2+n^2$，因此通项为 $\frac{1}{n^2+k^2}$，且 $k$ 从 $1$ 取到 $n$。于是原极限可写为 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} n\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n^2+k^2}$。
公式：$\displaystyle \lim_{n\to\infty} n\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n^2+k^2}$
提示：注意最后一项 $2n^2$ 对应 $k=n$，不要误以为 $k$ 取到 $2n$。
步骤 2/5
目标：将因子n乘入求和项并变形
将 $n$ 乘入求和：$n\cdot\frac{1}{n^2+k^2}=\frac{n}{n^2+k^2}$。分子分母同除以 $n^2$ 得 $\frac{1/n}{1+(k/n)^2}$。因此极限化为 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{1+(k/n)^2}$。
公式：$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{1+(k/n)^2}$
提示：除以 $n^2$ 时注意分子 $n$ 变为 $1/n$，这是凑出 $\Delta x=1/n$ 的关键。
步骤 3/5
目标：将求和式转化为黎曼和形式
令 $\Delta x = \frac{1}{n}$，$x_k = \frac{k}{n}$，则求和式 $\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+x_k^2}\cdot\Delta x$ 是函数 $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$ 在区间 $[0,1]$ 上的黎曼和。当 $n\to\infty$ 时，极限等于定积分 $\int_0^1 \frac{1}{1+x^2}\,dx$。
公式：$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+(k/n)^2}\cdot\frac{1}{n} = \int_0^1 \frac{1}{1+x^2}\,dx$
提示：确认积分区间：$k/n$ 从 $1/n$ 到 $1$，当 $n\to\infty$ 时覆盖 $[0,1]$。
步骤 4/5
目标：计算定积分
计算 $\int_0^1 \frac{1}{1+x^2}\,dx$。原函数为 $\arctan x$，代入上下限：$\arctan 1 - \arctan 0 = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$。
公式：$\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x\Big|_0^1 = \frac{\pi}{4}$
提示：记住 $\arctan 1 = \pi/4$，$\arctan 0 = 0$。
步骤 5/5
目标：得出最终结果
原极限等于 $\frac{\pi}{4}$。
公式：$\displaystyle \lim_{n\to\infty} n\left(\frac{1}{n^2+1}+\frac{1}{n^2+2^2}+\ldots+\frac{1}{2n^2}\right) = \frac{\pi}{4}$
提示：最终答案需用 $\boxed{\frac{\pi}{4}}$ 表示。
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