📝 山西大学 2023年数学分析真题

一、利用定积分计算极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\frac{1}{n^{2}+1}+\frac{1}{n^{2}+2^{2}}+\ldots+\frac{1}{2 n^{2}}\right)$ 。

七、求曲面 $\displaystyle z=x y-1$ 上与原点最近的点的坐标。

三、设函数 $\displaystyle \mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $\displaystyle [\mathrm{a}, \mathrm{b}]$ 上二阶可导，$\displaystyle f^{\prime}(a)=f^{\prime}(b)=0$ ，证明：存在一点 $\displaystyle \xi \in(\mathrm{a}, \mathrm{b})$使得 $\displaystyle \left|f^{\prime \prime}(\xi)\right| \geq \frac{4}{(b-a)^{2}}|f(b)-f(a)|$ 。

九、求函数 $\displaystyle \mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ 在区域 $\displaystyle \mathrm{D}=\left\{x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq \mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}\right\}$ 内的平均值。

二、设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 是区间 1 上有界且一致连续的函数，证明：$\displaystyle f(x) g(x)$ 在 1 上一致连续。

五、证明函数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{(n!)^{2}}$ 满足方程 $\displaystyle x f^{\prime \prime}(x)+f^{\prime}(x)-f(x)=0$ 。

八、设在 $\displaystyle [\mathrm{a},+\infty) \times[\mathrm{c}, \mathrm{d}]$ 内成立不等式 $\displaystyle |\mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y})| \leq \mathrm{F}(\mathrm{x}, \mathrm{y})$ ，若 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} F(x, y) d x$ 在 $\displaystyle \mathrm{y} \in[\mathrm{c}, \mathrm{d}]$上一致收敛，证明 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x, y) d x$ 在 $\displaystyle \mathrm{y} \in[\mathrm{c}, \mathrm{d}]$ 上一致收敛且绝对收敛。

六、设函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}x \sin \frac{1}{y}+y \sin \frac{1}{x} & x y \neq 0 \\ 0 & x y=0\end{array}\right.$ ，讨论三种极限：
（1） $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)$ ；
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \lim _{y \rightarrow 0} f(x, y)$ ；
（3） $\displaystyle \lim _{y \rightarrow 0} \lim _{x \rightarrow 0} f(x, y)$ 。

十、设 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D=[a, b] \times[c, d]$ 上有二阶连续偏导数
（1）通过计算验证： $\displaystyle \iint_{D} f_{x y}^{\prime \prime}(x, y) d x d y=\iint_{D} f_{y x}^{\prime \prime}(x, y) d x d y$ ；
（2）利用（1）证明：$\displaystyle f_{x y}^{\prime \prime}(x, y)=f_{y x}^{\prime \prime}(x, y),(\mathrm{x}, \mathrm{y}) \in \mathrm{D}$ 。

四、设 $\displaystyle \mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $\displaystyle [\mathrm{a},+\infty)$ 上单调，且 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) d x$ 收玫，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ 。