山西大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
五、证明函数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{(n!)^{2}}$ 满足方程 $\displaystyle x f^{\prime \prime}(x)+f^{\prime}(x)-f(x)=0$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：求一阶导数 f'(x)
对 $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{(n!)^{2}}$ 逐项求导，得到 $f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n x^{n-1}}{(n!)^{2}}$。利用 $n! = n \cdot (n-1)!$ 化简系数：$\frac{n}{(n!)^{2}} = \frac{1}{n ((n-1)!)^{2}}$，于是 $f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{n ((n-1)!)^{2}}$。令 $m=n-1$，得 $f'(x)=\sum_{m=0}^{\infty} \frac{x^{m}}{(m+1)(m!)^{2}}$。
公式：$f'(x)=\sum_{m=0}^{\infty} \frac{x^{m}}{(m+1)(m!)^{2}}$
提示：注意求和指标从 n=1 开始，以及阶乘化简时不要遗漏分母中的 n。
步骤 2/5
目标：求二阶导数 f''(x)
对 $f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{n ((n-1)!)^{2}}$ 逐项求导，得 $f''(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n-1) x^{n-2}}{n ((n-1)!)^{2}}$。令 $k=n-2$，则 $n=k+2$，得 $f''(x)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(k+1) x^{k}}{(k+2) ((k+1)!)^{2}}$。
公式：$f''(x)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(k+1) x^{k}}{(k+2) ((k+1)!)^{2}}$
提示：当 n=1 时分子为 0，实际求和从 n=2 开始，但换指标后自动从 k=0 开始。
步骤 3/5
目标：计算 x f''(x) 并整理
将 $f''(x)$ 乘以 $x$：$x f''(x)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(k+1) x^{k+1}}{(k+2) ((k+1)!)^{2}}$。令 $m=k+1$，则 $k=m-1$，得 $x f''(x)=\sum_{m=1}^{\infty} \frac{m x^{m}}{(m+1) (m!)^{2}}$。
公式：$x f''(x)=\sum_{m=1}^{\infty} \frac{m x^{m}}{(m+1) (m!)^{2}}$
提示：注意换指标后求和从 m=1 开始，与 f'(x) 的求和范围不同。
步骤 4/5
目标：合并 x f''(x) 与 f'(x)
写出 $f'(x)=\sum_{m=0}^{\infty} \frac{x^{m}}{(m+1)(m!)^{2}} = 1 + \sum_{m=1}^{\infty} \frac{x^{m}}{(m+1)(m!)^{2}}$。于是 $x f''(x)+f'(x)=1 + \sum_{m=1}^{\infty} \left( \frac{m}{m+1} + \frac{1}{m+1} \right) \frac{x^{m}}{(m!)^{2}}$。括号内化简为 $\frac{m+1}{m+1}=1$，所以 $x f''(x)+f'(x)=1+\sum_{m=1}^{\infty} \frac{x^{m}}{(m!)^{2}} = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{x^{m}}{(m!)^{2}} = f(x)$。
公式：$x f''(x)+f'(x)=f(x)$
提示：合并时注意将 f'(x) 的 m=0 项单独写出，避免求和指标混乱。
步骤 5/5
目标：得出结论
由 $x f''(x)+f'(x)=f(x)$ 移项即得 $x f''(x)+f'(x)-f(x)=0$，因此函数 $f(x)$ 满足该微分方程。
公式：$x f''(x)+f'(x)-f(x)=0$
提示：最终结果需移项整理，确保符号正确。
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