山西大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
七、求曲面 $\displaystyle z=x y-1$ 上与原点最近的点的坐标。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：建立目标函数
设曲面上点 $(x, y, z)$ 到原点 $(0,0,0)$ 的距离为 $d = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$。为简化计算，考虑距离平方的最小值，定义目标函数 $F(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2$，约束条件为曲面方程 $z = xy - 1$。
公式：F(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2, \quad z = xy - 1
提示：距离平方的最小值点与原距离的最小值点相同，可避免开方运算。
步骤 2/5
目标：代入约束消去变量
将 $z = xy - 1$ 代入 $F$，得到关于 $x, y$ 的二元函数：
$$f(x,y) = x^2 + y^2 + (xy - 1)^2$$
展开得：
$$f(x,y) = x^2 + y^2 + x^2 y^2 - 2xy + 1$$
公式：f(x,y) = x^2 + y^2 + (xy - 1)^2
提示：展开时注意 $(xy-1)^2 = x^2y^2 - 2xy + 1$，不要遗漏交叉项。
步骤 3/5
目标：求偏导数并令其为零
对 $x$ 求偏导：
$$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x + 2x y^2 - 2y = 0$$
化简得：
$$x(1 + y^2) = y \quad (1)$$
对 $y$ 求偏导：
$$\frac{\partial f}{\partial y} = 2y + 2x^2 y - 2x = 0$$
化简得：
$$y(1 + x^2) = x \quad (2)$$
公式：\frac{\partial f}{\partial x} = 2x + 2x y^2 - 2y = 0, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 2y + 2x^2 y - 2x = 0
提示：求偏导时注意将 $y$ 视为常数对 $x$ 求导，反之亦然。
步骤 4/5
目标：解方程组求驻点
由 (1) 得 $x = \frac{y}{1 + y^2}$，代入 (2)：
$$y\left(1 + \frac{y^2}{(1 + y^2)^2}\right) = \frac{y}{1 + y^2}$$
若 $y = 0$，则 $x = 0$，得候选点 $(0,0,-1)$。
若 $y \neq 0$，两边除以 $y$ 并整理得：
$$(1 + y^2)^2 = 1$$
解得 $y = 0$，与假设矛盾。故唯一驻点为 $(0,0,-1)$。
公式：x = \frac{y}{1 + y^2}, \quad (1 + y^2)^2 = 1
提示：注意讨论 $y=0$ 的情况，避免除以零。
步骤 5/5
目标：验证最小值
计算候选点 $(0,0,-1)$ 的距离平方：$0^2 + 0^2 + (-1)^2 = 1$。
取其他点验证：例如 $(1,1,0)$ 距离平方为 $2 > 1$；$(0.5,0.5,-0.75)$ 距离平方为 $1.0625 > 1$。
由于函数连续且当 $x,y \to \infty$ 时 $f \to \infty$，该驻点为全局最小值点。
公式：d^2 = 1 \text{ 在 } (0,0,-1)
提示：可通过二阶偏导或比较法确认极值性质，此处利用无穷远趋势判断全局最小。
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