山西大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
十、设 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D=[a, b] \times[c, d]$ 上有二阶连续偏导数
（1）通过计算验证： $\displaystyle \iint_{D} f_{x y}^{\prime \prime}(x, y) d x d y=\iint_{D} f_{y x}^{\prime \prime}(x, y) d x d y$ ；
（2）利用（1）证明：$\displaystyle f_{x y}^{\prime \prime}(x, y)=f_{y x}^{\prime \prime}(x, y),(\mathrm{x}, \mathrm{y}) \in \mathrm{D}$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：计算左边二重积分，化为累次积分并先对x积分
将 $\iint_D f_{xy}''(x,y) \,dx\,dy$ 写成累次积分：
$$\iint_D f_{xy}''(x,y) \,dx\,dy = \int_c^d \int_a^b \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \,dx\,dy$$
先对 $x$ 积分：
$$\int_a^b \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \,dx = \left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{x=a}^{x=b} = \frac{\partial f(b,y)}{\partial y} - \frac{\partial f(a,y)}{\partial y}$$
公式：$$\int_a^b \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \,dx = \frac{\partial f(b,y)}{\partial y} - \frac{\partial f(a,y)}{\partial y}$$
提示：注意对x积分时，y视为常数，利用牛顿-莱布尼茨公式。
步骤 2/5
目标：完成左边积分的计算，得到表达式
再对 $y$ 积分：
$$\int_c^d \left[ \frac{\partial f(b,y)}{\partial y} - \frac{\partial f(a,y)}{\partial y} \right] dy = \big[ f(b,y) - f(a,y) \big]_{y=c}^{y=d} = f(b,d)-f(b,c)-f(a,d)+f(a,c)$$
因此：
$$\iint_D f_{xy}''(x,y)\,dx\,dy = f(b,d)-f(b,c)-f(a,d)+f(a,c)$$
公式：$$\iint_D f_{xy}''(x,y)\,dx\,dy = f(b,d)-f(b,c)-f(a,d)+f(a,c)$$
提示：注意符号顺序，不要漏项。
步骤 3/5
目标：计算右边二重积分，化为累次积分并先对y积分
将 $\iint_D f_{yx}''(x,y) \,dx\,dy$ 写成另一种顺序的累次积分：
$$\iint_D f_{yx}''(x,y) \,dx\,dy = \int_a^b \int_c^d \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} \,dy\,dx$$
先对 $y$ 积分：
$$\int_c^d \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} \,dy = \left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{y=c}^{y=d} = \frac{\partial f(x,d)}{\partial x} - \frac{\partial f(x,c)}{\partial x}$$
公式：$$\int_c^d \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} \,dy = \frac{\partial f(x,d)}{\partial x} - \frac{\partial f(x,c)}{\partial x}$$
提示：注意积分顺序改变，但结果应相同。
步骤 4/5
目标：完成右边积分的计算，得到表达式
再对 $x$ 积分：
$$\int_a^b \left[ \frac{\partial f(x,d)}{\partial x} - \frac{\partial f(x,c)}{\partial x} \right] dx = \big[ f(x,d)-f(x,c) \big]_{x=a}^{x=b} = f(b,d)-f(a,d)-f(b,c)+f(a,c)$$
因此：
$$\iint_D f_{yx}''(x,y)\,dx\,dy = f(b,d)-f(a,d)-f(b,c)+f(a,c)$$
公式：$$\iint_D f_{yx}''(x,y)\,dx\,dy = f(b,d)-f(a,d)-f(b,c)+f(a,c)$$
提示：比较左右两边结果，发现它们相等，验证完成。
步骤 5/5
目标：利用(1)的结论，构造差函数并证明其恒为零
由(1)知对任意矩形 $D=[a,b]\times[c,d]$ 有：
$$\iint_D \big[ f_{xy}''(x,y) - f_{yx}''(x,y) \big] \,dx\,dy = 0$$
令 $g(x,y)=f_{xy}''(x,y)-f_{yx}''(x,y)$，则 $g$ 在 $D$ 上连续。假设存在 $(x_0,y_0)\in D$ 使得 $g(x_0,y_0)>0$，由连续性，存在一个小矩形邻域 $\Delta \subset D$ 使得在 $\Delta$ 上 $g(x,y)>\frac{g(x_0,y_0)}{2}>0$，于是 $\iint_\Delta g(x,y)\,dx\,dy>0$，与(1)矛盾。同理 $g(x_0,y_0)<0$ 也矛盾。故 $g(x,y)\equiv 0$，即 $f_{xy}''(x,y)=f_{yx}''(x,y)$。
公式：$$\iint_D g(x,y)\,dx\,dy=0 \Rightarrow g(x,y)\equiv 0$$
提示：反证法，利用连续函数的局部保号性。
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