山西大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
九、求函数 $\displaystyle \mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ 在区域 $\displaystyle \mathrm{D}=\left\{x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq \mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}\right\}$ 内的平均值。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：化简区域条件，确定区域形状
给定条件：\(x^2 + y^2 + z^2 \le x + y + z\)。移项得：\(x^2 - x + y^2 - y + z^2 - z \le 0\)。分别配方：\(\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(y - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(z - \frac{1}{2}\right)^2 \le \frac{3}{4}\)。因此区域 \(D\) 是一个球体，球心为 \(\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)\)，半径 \(R = \frac{\sqrt{3}}{2}\)。
公式：\left(x-\frac12\right)^2 + \left(y-\frac12\right)^2 + \left(z-\frac12\right)^2 \le \frac34
提示：配方时注意常数项平衡，确保不等式方向正确。
步骤 2/6
目标：计算区域体积
球的体积公式：\(V = \frac{4}{3}\pi R^3\)。代入 \(R = \frac{\sqrt{3}}{2}\)：\(R^3 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3 = \frac{3\sqrt{3}}{8}\)，所以 \(V = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{3\sqrt{3}}{8} = \frac{\pi\sqrt{3}}{2}\)。
公式：V = \frac{\pi\sqrt{3}}{2}
提示：注意半径的立方计算，避免指数错误。
步骤 3/6
目标：平移坐标系简化积分
令 \(u = x - \frac{1}{2}, v = y - \frac{1}{2}, w = z - \frac{1}{2}\)，则新区域为球心在原点的球：\(u^2 + v^2 + w^2 \le \frac{3}{4}\)。原函数化为：\(x^2 + y^2 + z^2 = (u+\frac12)^2 + (v+\frac12)^2 + (w+\frac12)^2 = u^2 + v^2 + w^2 + (u+v+w) + \frac{3}{4}\)。积分变为：\(\iiint_{u^2+v^2+w^2 \le \frac34} \left( u^2+v^2+w^2 + (u+v+w) + \frac34 \right) dV\)。
公式：x^2+y^2+z^2 = u^2+v^2+w^2 + (u+v+w) + \frac34
提示：平移后注意线性项积分在对称区域为零，可简化计算。
步骤 4/6
目标：计算球内径向积分
由于球对称，线性项 \(u+v+w\) 积分为零。剩余部分：\(\iiint (u^2+v^2+w^2) dV + \frac34 V\)。计算 \(\iiint (u^2+v^2+w^2) dV\)：使用球坐标，\(r^2 = u^2+v^2+w^2\)，体积元 \(dV = r^2 \sin\theta dr d\theta d\phi\)，积分区域 \(0 \le r \le R\)，\(0 \le \theta \le \pi\)，\(0 \le \phi \le 2\pi\)。被积函数为 \(r^2\)，故积分 \(\int_0^{2\pi} d\phi \int_0^\pi \sin\theta d\theta \int_0^R r^4 dr = 4\pi \cdot \frac{R^5}{5}\)。代入 \(R = \frac{\sqrt{3}}{2}\)，\(R^5 = \frac{9\sqrt{3}}{32}\)，得 \(\frac{9\pi\sqrt{3}}{40}\)。
公式：\iiint (u^2+v^2+w^2) dV = 4\pi \cdot \frac{R^5}{5} = \frac{9\pi\sqrt{3}}{40}
提示：球坐标中 \(r^2\) 来自被积函数，另一个 \(r^2\) 来自体积元，注意区分。
步骤 5/6
目标：计算常数项积分并求和
常数项积分：\(\frac34 V = \frac34 \cdot \frac{\pi\sqrt{3}}{2} = \frac{3\pi\sqrt{3}}{8} = \frac{15\pi\sqrt{3}}{40}\)。总积分：\(\frac{9\pi\sqrt{3}}{40} + \frac{15\pi\sqrt{3}}{40} = \frac{24\pi\sqrt{3}}{40} = \frac{3\pi\sqrt{3}}{5}\)。
公式：\iiint_D (x^2+y^2+z^2) dV = \frac{3\pi\sqrt{3}}{5}
提示：通分时注意分母统一，避免计算错误。
步骤 6/6
目标：计算平均值
平均值公式：\(\text{平均值} = \frac{1}{V} \iiint_D f dV\)。代入体积 \(V = \frac{\pi\sqrt{3}}{2}\) 和积分值 \(\frac{3\pi\sqrt{3}}{5}\)：\(\frac{ \frac{3\pi\sqrt{3}}{5} }{ \frac{\pi\sqrt{3}}{2} } = \frac{3\pi\sqrt{3}}{5} \cdot \frac{2}{\pi\sqrt{3}} = \frac{6}{5}\)。
公式：\text{平均值} = \frac{6}{5}
提示：约分时注意 \(\pi\sqrt{3}\) 可消去，简化计算。
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