山西大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
八、设在 $\displaystyle [\mathrm{a},+\infty) \times[\mathrm{c}, \mathrm{d}]$ 内成立不等式 $\displaystyle |\mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y})| \leq \mathrm{F}(\mathrm{x}, \mathrm{y})$ ，若 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} F(x, y) d x$ 在 $\displaystyle \mathrm{y} \in[\mathrm{c}, \mathrm{d}]$上一致收敛，证明 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x, y) d x$ 在 $\displaystyle \mathrm{y} \in[\mathrm{c}, \mathrm{d}]$ 上一致收敛且绝对收敛。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确已知条件和要证明的结论
已知在区域 $[a, +\infty) \times [c, d]$ 上，有不等式 $|f(x, y)| \le F(x, y)$，并且 $\int_a^{+\infty} F(x, y) \, dx$ 关于 $y \in [c, d]$ 一致收敛。需要证明：$\int_a^{+\infty} f(x, y) \, dx$ 在 $[c, d]$ 上一致收敛且绝对收敛。
公式：|f(x,y)| \le F(x,y)
提示：注意一致收敛的定义中，$A_0$ 必须与 $y$ 无关。
步骤 2/7
目标：回忆一致收敛的柯西准则
含参广义积分 $\int_a^{+\infty} f(x, y) \, dx$ 在 $[c, d]$ 上一致收敛，当且仅当对任意 $\varepsilon > 0$，存在与 $y$ 无关的 $A_0 > a$，使得对任意 $A_2 > A_1 > A_0$ 和任意 $y \in [c, d]$，都有 $\left| \int_{A_1}^{A_2} f(x, y) \, dx \right| < \varepsilon$。
公式：\forall \varepsilon>0, \exists A_0>a, \forall A_2>A_1>A_0, \forall y\in[c,d]: \left|\int_{A_1}^{A_2} f(x,y)dx\right|<\varepsilon
提示：这是判断一致收敛的核心工具，注意 $A_0$ 的公共性。
步骤 3/7
目标：利用已知一致收敛性得到控制函数的余项估计
因为 $\int_a^{+\infty} F(x, y) \, dx$ 关于 $y$ 一致收敛，由柯西准则，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $A_0 > a$（与 $y$ 无关），使得对任意 $A_2 > A_1 > A_0$ 和任意 $y \in [c, d]$，有 $\int_{A_1}^{A_2} F(x, y) \, dx < \varepsilon$。
公式：\forall \varepsilon>0, \exists A_0>a, \forall A_2>A_1>A_0, \forall y\in[c,d]: \int_{A_1}^{A_2} F(x,y)dx < \varepsilon
提示：这里 $\varepsilon$ 是任意正数，$A_0$ 由 $\varepsilon$ 决定但不依赖于 $y$。
步骤 4/7
目标：利用绝对值不等式推导被积函数的估计
由条件 $|f(x,y)| \le F(x,y)$，对同样的 $A_1, A_2$ 和 $y$，有 $\left| \int_{A_1}^{A_2} f(x,y) \, dx \right| \le \int_{A_1}^{A_2} |f(x,y)| \, dx \le \int_{A_1}^{A_2} F(x,y) \, dx < \varepsilon$。因此，对任意 $\varepsilon>0$，存在公共的 $A_0$，使得对所有 $y$，当 $A_2>A_1>A_0$ 时，$\left| \int_{A_1}^{A_2} f(x,y)dx \right| < \varepsilon$。
公式：\left|\int_{A_1}^{A_2} f(x,y)dx\right| \le \int_{A_1}^{A_2} |f(x,y)|dx \le \int_{A_1}^{A_2} F(x,y)dx < \varepsilon
提示：注意绝对值不等式与比较判别法的结合使用，这是证明一致收敛的关键步骤。
步骤 5/7
目标：证明一致收敛性
根据上一步的估计，$\int_a^{+\infty} f(x, y) \, dx$ 满足一致收敛的柯西准则，因此它在 $y \in [c, d]$ 上一致收敛。
公式：\text{由柯西准则，} \int_a^{+\infty} f(x,y)dx \text{ 在 } [c,d] \text{ 上一致收敛}
提示：这里不需要额外条件，直接由估计得到。
步骤 6/7
目标：证明绝对收敛性
对于每个固定的 $y \in [c, d]$，由 $|f(x,y)| \le F(x,y)$ 以及 $\int_a^{+\infty} F(x,y) \, dx$ 收敛（一致收敛蕴含逐点收敛），根据比较判别法，$\int_a^{+\infty} |f(x,y)| \, dx$ 收敛，即原积分绝对收敛。
公式：\int_a^{+\infty} |f(x,y)|dx \le \int_a^{+\infty} F(x,y)dx < +\infty
提示：绝对收敛是逐点性质，这里不需要一致绝对收敛，只需对每个 $y$ 成立即可。
步骤 7/7
目标：总结结论
综上，由一致收敛的柯西准则及绝对值不等式，$\int_a^{+\infty} f(x, y) \, dx$ 在 $y \in [c, d]$ 上一致收敛；同时由 $|f| \le F$ 及 $F$ 积分的收敛性，该积分绝对收敛。因此结论成立。
公式：\text{一致收敛且绝对收敛}
提示：注意区分一致收敛和绝对收敛的概念，两者同时成立。
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