山西大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
六、设函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}x \sin \frac{1}{y}+y \sin \frac{1}{x} & x y \neq 0 \\ 0 & x y=0\end{array}\right.$ ，讨论三种极限：
（1） $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)$ ；
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \lim _{y \rightarrow 0} f(x, y)$ ；
（3） $\displaystyle \lim _{y \rightarrow 0} \lim _{x \rightarrow 0} f(x, y)$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析函数定义与分段条件
函数 $f(x,y)$ 定义为：当 $xy \neq 0$ 时，$f(x,y) = x \sin\frac{1}{y} + y \sin\frac{1}{x}$；当 $xy = 0$ 时，$f(x,y) = 0$。这意味着只要 $x$ 或 $y$ 中有一个为 $0$，函数值直接为 $0$。
公式：f(x,y) = \begin{cases} x \sin\frac{1}{y} + y \sin\frac{1}{x}, & xy \neq 0 \\ 0, & xy = 0 \end{cases}
提示：注意分段点处函数值已定义，极限讨论需考虑所有路径，包括 $xy=0$ 的路径。
步骤 2/5
目标：讨论二重极限 (1) 是否存在并求值
考虑 $(x,y) \to (0,0)$ 的任意路径。当 $xy \neq 0$ 时，利用三角不等式：$|f(x,y)| = |x \sin\frac{1}{y} + y \sin\frac{1}{x}| \le |x| + |y|$，因为 $|\sin(\cdot)| \le 1$。当 $xy = 0$ 时，$f(x,y)=0$，同样满足 $|f(x,y)| \le |x|+|y|$。由于 $|x|+|y| \to 0$ 当 $(x,y)\to(0,0)$，由夹逼定理得 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) = 0$。
公式：|f(x,y)| \le |x| + |y| \to 0
提示：夹逼法适用，注意正弦函数的有界性；不要忽略 $xy=0$ 的路径，但此处它们也满足不等式。
步骤 3/5
目标：讨论累次极限 (2) 先对 y 后对 x
先固定 $x \neq 0$，考虑内层极限 $\lim_{y \to 0} f(x,y)$。当 $y \to 0$ 且 $y \neq 0$ 时，$xy \neq 0$，则 $f(x,y) = x \sin\frac{1}{y} + y \sin\frac{1}{x}$。第一项 $x \sin\frac{1}{y}$ 中，$\sin\frac{1}{y}$ 在 $-1$ 和 $1$ 之间振荡，不收敛（除非 $x=0$，但此处 $x \neq 0$）；第二项 $y \sin\frac{1}{x} \to 0$。因此内层极限不存在。故累次极限 $\lim_{x \to 0} \lim_{y \to 0} f(x,y)$ 不存在。
公式：\lim_{y \to 0} \left( x \sin\frac{1}{y} + y \sin\frac{1}{x} \right) \text{ 振荡，不存在}
提示：注意内层极限不存在时，累次极限整体不存在，无需再求外层极限。
步骤 4/5
目标：讨论累次极限 (3) 先对 x 后对 y
先固定 $y \neq 0$，考虑内层极限 $\lim_{x \to 0} f(x,y)$。当 $x \to 0$ 且 $x \neq 0$ 时，$xy \neq 0$，则 $f(x,y) = x \sin\frac{1}{y} + y \sin\frac{1}{x}$。第一项 $x \sin\frac{1}{y} \to 0$（因为 $x \to 0$，$\sin\frac{1}{y}$ 有界）；第二项 $y \sin\frac{1}{x}$ 中，$\sin\frac{1}{x}$ 振荡，不收敛（除非 $y=0$，但此处 $y \neq 0$）。因此内层极限不存在。故累次极限 $\lim_{y \to 0} \lim_{x \to 0} f(x,y)$ 不存在。
公式：\lim_{x \to 0} \left( x \sin\frac{1}{y} + y \sin\frac{1}{x} \right) \text{ 振荡，不存在}
提示：对称性分析，注意与 (2) 的区别：这里振荡项是 $y \sin(1/x)$，同样导致极限不存在。
步骤 5/5
目标：总结三种极限的结果
（1）二重极限存在且为 $0$；（2）累次极限 $\lim_{x \to 0} \lim_{y \to 0} f(x,y)$ 不存在；（3）累次极限 $\lim_{y \to 0} \lim_{x \to 0} f(x,y)$ 不存在。
公式：\begin{aligned} &\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) = 0 \\ &\lim_{x\to 0}\lim_{y\to 0} f(x,y) \text{ 不存在} \\ &\lim_{y\to 0}\lim_{x\to 0} f(x,y) \text{ 不存在} \end{aligned}
提示：二重极限存在并不意味着累次极限存在，本例中二重极限为0，但两个累次极限均因内层振荡而不存在。
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