山西大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
四、设 $\displaystyle \mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $\displaystyle [\mathrm{a},+\infty)$ 上单调，且 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) d x$ 收玫，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：明确已知条件与证明目标
已知函数 $f(x)$ 在区间 $[a, +\infty)$ 上单调，且无穷积分 $\int_a^{+\infty} f(x) \, dx$ 收敛。需要证明 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$。
公式：已知：$\int_a^{+\infty} f(x) \, dx$ 收敛
提示：注意单调性包括单调递增和单调递减两种情况，需要分别处理或通过转化统一处理。
步骤 2/8
目标：先考虑单调递减情形，并说明极限存在
不妨先设 $f(x)$ 单调递减。由于单调函数在无穷远处的极限必然存在（可以是有限数或 $-\infty$），记 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$。因为积分收敛，$L$ 不能是 $-\infty$，否则积分发散，故 $L$ 为有限数。
公式：$\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$（有限）
提示：单调有界函数必有极限，这里积分收敛提供了有界性保证。
步骤 3/8
目标：反证法假设 L ≠ 0，分情况讨论
假设 $L \neq 0$，则有两种可能：$L > 0$ 或 $L < 0$。
公式：反证法假设：$L > 0$ 或 $L < 0$
提示：注意 $L=0$ 是我们要证明的结论，所以假设其不为零。
步骤 4/8
目标：情况1：L > 0 导致矛盾
若 $L > 0$，由极限定义，存在 $X \ge a$，当 $x \ge X$ 时，$f(x) \ge \frac{L}{2} > 0$。则对任意 $b > X$，有 $\int_X^b f(x) \, dx \ge \frac{L}{2}(b - X) \to +\infty$（当 $b \to +\infty$），与积分收敛矛盾。
公式：$\int_X^b f(x) \, dx \ge \frac{L}{2}(b - X) \to +\infty$
提示：这里利用了单调递减保证 $f(x)$ 有正下界，导致积分发散。
步骤 5/8
目标：情况2：L < 0 导致矛盾
若 $L < 0$，存在 $X \ge a$，当 $x \ge X$ 时，$f(x) \le \frac{L}{2} < 0$。则 $\int_X^b f(x) \, dx \le \frac{L}{2}(b - X) \to -\infty$（当 $b \to +\infty$），同样与积分收敛矛盾。
公式：$\int_X^b f(x) \, dx \le \frac{L}{2}(b - X) \to -\infty$
提示：注意 $L/2$ 为负数，所以积分趋于负无穷。
步骤 6/8
目标：得出结论：L = 0
由于 $L > 0$ 和 $L < 0$ 均导致矛盾，故 $L = 0$，即 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$。
公式：$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$
提示：反证法完成，单调递减情形得证。
步骤 7/8
目标：处理单调递增情形
若 $f(x)$ 单调递增，考虑辅助函数 $g(x) = -f(x)$，则 $g(x)$ 单调递减，且 $\int_a^{+\infty} g(x) \, dx = -\int_a^{+\infty} f(x) \, dx$ 收敛。由已证结论，$\lim_{x \to +\infty} g(x) = 0$，从而 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$。
公式：$g(x) = -f(x)$，$\lim_{x \to +\infty} g(x) = 0 \Rightarrow \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$
提示：通过取负将递增情形转化为递减情形，简化证明。
步骤 8/8
目标：总结证明
综上，无论 $f(x)$ 单调递减还是单调递增，都有 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$。证毕。
公式：$\boxed{\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0}$
提示：注意积分收敛是核心条件，它排除了极限非零的可能性。
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