山西大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
二、设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 是区间 1 上有界且一致连续的函数，证明：$\displaystyle f(x) g(x)$ 在 1 上一致连续。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：回顾一致连续的定义
函数 $h(x)$ 在区间 $I$ 上一致连续，是指：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得对任意 $x, y \in I$，只要 $|x - y| < \delta$，就有 $|h(x) - h(y)| < \varepsilon$。
公式：\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x, y \in I: |x-y|<\delta \Rightarrow |h(x)-h(y)|<\varepsilon
提示：注意一致连续与普通连续的区别：这里的 $\delta$ 只依赖于 $\varepsilon$，而不依赖于 $x$ 的位置。
步骤 2/5
目标：分解乘积的差
考虑 $|f(x)g(x) - f(y)g(y)|$，通过添加中间项 $f(x)g(y)$ 进行分解：
\[
f(x)g(x) - f(y)g(y) = f(x)g(x) - f(x)g(y) + f(x)g(y) - f(y)g(y)
\]
由三角不等式得：
\[
|f(x)g(x) - f(y)g(y)| \le |f(x)||g(x)-g(y)| + |g(y)||f(x)-f(y)|
\]
公式：|f(x)g(x)-f(y)g(y)| \le |f(x)||g(x)-g(y)| + |g(y)||f(x)-f(y)|
提示：这种“加一项减一项”的技巧在处理乘积或商的差时非常常用。
步骤 3/5
目标：利用有界性控制系数
由于 $f$ 和 $g$ 在区间 $I$ 上有界，存在常数 $M > 0$，使得对任意 $t \in I$，有 $|f(t)| \le M$ 且 $|g(t)| \le M$。代入上一步的不等式得：
\[
|f(x)g(x) - f(y)g(y)| \le M|g(x)-g(y)| + M|f(x)-f(y)|
\]
公式：|f(x)g(x)-f(y)g(y)| \le M|g(x)-g(y)| + M|f(x)-f(y)|
提示：有界性保证了 $|f(x)|$ 和 $|g(y)|$ 可以被同一个常数 $M$ 控制，这是后续使用一致连续性的关键。
步骤 4/5
目标：应用一致连续性条件
因为 $f$ 一致连续，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta_1 > 0$，使得当 $|x-y| < \delta_1$ 时，$|f(x)-f(y)| < \frac{\varepsilon}{2M}$。
同理，因为 $g$ 一致连续，存在 $\delta_2 > 0$，使得当 $|x-y| < \delta_2$ 时，$|g(x)-g(y)| < \frac{\varepsilon}{2M}$。
取 $\delta = \min(\delta_1, \delta_2)$，则当 $|x-y| < \delta$ 时，上述两个不等式同时成立。
公式：\delta = \min(\delta_1, \delta_2), \quad |f(x)-f(y)| < \frac{\varepsilon}{2M}, \quad |g(x)-g(y)| < \frac{\varepsilon}{2M}
提示：取 $\delta$ 为两个 $\delta$ 的最小值，是为了保证两个不等式同时成立。注意分母 $2M$ 是为了最后凑出 $\varepsilon$。
步骤 5/5
目标：合并不等式得出结论
将上一步的不等式代入有界性得到的不等式中：
\[
|f(x)g(x) - f(y)g(y)| < M \cdot \frac{\varepsilon}{2M} + M \cdot \frac{\varepsilon}{2M} = \varepsilon
\]
因此，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得当 $|x-y| < \delta$ 时，有 $|f(x)g(x) - f(y)g(y)| < \varepsilon$。由一致连续的定义，$f(x)g(x)$ 在区间 $I$ 上一致连续。
公式：|f(x)g(x)-f(y)g(y)| < \varepsilon
提示：证明的最后一步要回到定义，明确写出 $\varepsilon-\delta$ 关系。
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