山西大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
一、（15 分）设函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{c}x^{n} \sin \frac{1}{x}, x \neq 0 \\ 0, x=0\end{array}, n\right.$ 为正整数，
（1）当 $n$ 为何值时，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathrm{x}=0$ 处连续；
（2）当 $n$ 为何值时，$\displaystyle f(x)$ 的导数 $\displaystyle f^{\prime}(\mathrm{x})$ 在 $\displaystyle \mathrm{x}=0$ 处可导；
（3）当 $n$ 为何值时，$\displaystyle f(x)$ 的导数 $\displaystyle f^{\prime}(\mathrm{x})$ 在 $\displaystyle \mathrm{x}=0$ 处连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析函数在x=0处的连续性
要使得$f(x)$在$x=0$处连续，需满足$\lim_{x\to 0} f(x) = f(0)=0$。由于$|f(x)| = |x^n \sin(1/x)| \le |x|^n$，且$n$为正整数，当$x\to 0$时，$|x|^n \to 0$，由夹逼定理得极限为0。因此对所有正整数$n$，函数在$x=0$处连续。
公式：\lim_{x\to 0} x^n \sin\frac{1}{x} = 0 \quad (n\ge 1)
提示：注意$\sin(1/x)$的有界性，利用夹逼定理判断极限。
步骤 2/5
目标：求f(x)在x=0处的导数f'(0)
由导数定义：$f'(0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(h)-f(0)}{h} = \lim_{h\to 0} h^{n-1} \sin(1/h)$。当$n-1 \ge 1$即$n\ge 2$时，极限为0；当$n=1$时，极限不存在。故$f'(0)$存在当且仅当$n\ge 2$，且此时$f'(0)=0$。
公式：f'(0) = \lim_{h\to 0} h^{n-1} \sin\frac{1}{h}
提示：定义法求分段点导数时，注意极限存在的条件。
步骤 3/5
目标：求导函数f'(x)在x≠0时的表达式
当$x\neq 0$时，直接求导：$f'(x) = n x^{n-1} \sin\frac{1}{x} + x^n \cos\frac{1}{x} \cdot (-\frac{1}{x^2}) = n x^{n-1} \sin\frac{1}{x} - x^{n-2} \cos\frac{1}{x}$。
公式：f'(x) = n x^{n-1} \sin\frac{1}{x} - x^{n-2} \cos\frac{1}{x} \quad (x\neq 0)
提示：注意复合函数求导时，$\sin(1/x)$的导数包含$-1/x^2$因子。
步骤 4/5
目标：判断f'(x)在x=0处的连续性
要$f'(x)$在$x=0$处连续，需$\lim_{x\to 0} f'(x) = f'(0)=0$。第一项$n x^{n-1} \sin(1/x)$趋于0的条件是$n\ge 2$；第二项$-x^{n-2} \cos(1/x)$趋于0的条件是$n\ge 3$。当$n=2$时，第二项为$-\cos(1/x)$极限不存在；当$n\ge 3$时，两项均趋于0，极限为0。故$n\ge 3$时导函数连续。
公式：\lim_{x\to 0} \left( n x^{n-1} \sin\frac{1}{x} - x^{n-2} \cos\frac{1}{x} \right) = 0 \quad (n\ge 3)
提示：分别分析两项的极限，注意$\cos(1/x)$的振荡性。
步骤 5/5
目标：判断f'(x)在x=0处的可导性（即f''(0)存在性）
用定义求$f''(0)$：$f''(0) = \lim_{h\to 0} \frac{f'(h)-f'(0)}{h} = \lim_{h\to 0} \left[ n h^{n-2} \sin\frac{1}{h} - h^{n-3} \cos\frac{1}{h} \right]$。第一项趋于0需$n\ge 3$，第二项趋于0需$n\ge 4$。当$n=3$时，第二项为$-\cos(1/h)$极限不存在；当$n\ge 4$时，两项均趋于0，极限为0。故$n\ge 4$时$f'(x)$在$x=0$处可导。
公式：f''(0) = \lim_{h\to 0} \left( n h^{n-2} \sin\frac{1}{h} - h^{n-3} \cos\frac{1}{h} \right)
提示：注意指数递减，需分别满足条件，不能相互抵消。
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