📝 山西大学 2024年数学分析真题

一、（15 分）设函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{c}x^{n} \sin \frac{1}{x}, x \neq 0 \\ 0, x=0\end{array}, n\right.$ 为正整数，
（1）当 $n$ 为何值时，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathrm{x}=0$ 处连续；
（2）当 $n$ 为何值时，$\displaystyle f(x)$ 的导数 $\displaystyle f^{\prime}(\mathrm{x})$ 在 $\displaystyle \mathrm{x}=0$ 处可导；
（3）当 $n$ 为何值时，$\displaystyle f(x)$ 的导数 $\displaystyle f^{\prime}(\mathrm{x})$ 在 $\displaystyle \mathrm{x}=0$ 处连续．

七、（15 分）已知函数 $\displaystyle z=f(x, y)$ 的全微分 $\displaystyle d z=2 x d x-2 y d y$ ，并且 $\displaystyle f(1,1)=2$ ，求 $\displaystyle f(x, y)$
在椭圆域内 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \left\lvert\, x^{2}+\frac{y^{2}}{4} \leq 1\right.\right\}$ 上的最大值和最小值．

三、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可微，$\displaystyle f(x)=0$ ，且对任意的 $\displaystyle x \in(0,1), f(x) \neq 0$ 证明：对于任意 $\displaystyle \theta \epsilon(0,1)$ ，使得 $\displaystyle \frac{2 f^{\prime}(\theta)}{f(\theta)} \frac{f^{\prime}(1-\theta)}{f(1-\theta)}$ ．

九、（15 分）计算 $\displaystyle \mathrm{J}=\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{\mathrm{px}} \frac{\operatorname{sinbx}-\operatorname{sinax}}{\mathrm{x}} \mathrm{dx},(\mathrm{p}>0, \mathrm{~b}>\mathrm{a})$ ．

二、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续，$\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}[f(x)- g(x)]=0$ ，证明：$\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续．

五、（15 分）证明：函数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{x}}$ 在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 上有连续的各阶导函数．

八、 $\displaystyle \left(15\right.$ 分）求 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{x^{2} y^{2}}$ ．

六、（15 分）假设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的某领域内有二阶可导函数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0$ ，证明：
（1）$\displaystyle f(0)=f^{\prime}(0)=0$ ；
（2）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 绝对收敛。

十、（ 15 分）求由曲面 $\displaystyle \left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{a^{2}}\right)^{3}=\frac{x y z}{a b c}$ 所围成的立体的体积．

四、（15 分）假设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \left[x_{0},+\infty\right)$ 上可微，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$ ，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=0$ ．