山西大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
八、 $\displaystyle \left(15\right.$ 分）求 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{x^{2} y^{2}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将原极限转化为对数形式，以便处理幂指型不定式
设 $L = \lim_{(x,y)\to(0,0)} (x^2+y^2)^{x^2 y^2}$，由于底数和指数都趋于0，属于 $0^0$ 型不定式，取自然对数得：
\[
\ln L = \lim_{(x,y)\to(0,0)} x^2 y^2 \ln(x^2+y^2).
\]
这样原极限问题转化为求上述乘积形式的极限。
公式：\ln L = \lim_{(x,y)\to(0,0)} x^2 y^2 \ln(x^2+y^2)
提示：注意取对数后极限存在性需验证，此处先假设极限存在，最后再回代。
步骤 2/4
目标：利用极坐标或不等式估计对数部分的阶数
令 $r = \sqrt{x^2+y^2}$，则当 $(x,y)\to(0,0)$ 时 $r\to 0^+$。此时 $x^2+y^2 = r^2$，且 $\ln(x^2+y^2) = 2\ln r$。另外，由基本不等式 $x^2 y^2 \leq \frac{(x^2+y^2)^2}{4} = \frac{r^4}{4}$，可得：
\[
0 \geq x^2 y^2 \ln(x^2+y^2) \geq \frac{r^4}{4} \cdot 2\ln r = \frac{r^4 \ln r}{2}.
\]
注意当 $r$ 很小时 $\ln r < 0$，所以不等式方向为 $\frac{r^4 \ln r}{2} \leq x^2 y^2 \ln(x^2+y^2) \leq 0$。
公式：x^2 y^2 \leq \frac{r^4}{4}, \quad \ln(x^2+y^2) = 2\ln r
提示：注意 $\ln r$ 为负，因此乘以正数后不等式方向会反转，需仔细处理符号。
步骤 3/4
目标：应用夹逼定理求对数部分的极限
考虑 $r\to 0^+$ 时，$r^4 \ln r \to 0$（因为幂函数 $r^4$ 趋于0的速度快于对数 $\ln r$ 趋于负无穷的速度）。于是 $\frac{r^4 \ln r}{2} \to 0$。由夹逼定理：
\[
\lim_{(x,y)\to(0,0)} x^2 y^2 \ln(x^2+y^2) = 0.
\]
因此 $\ln L = 0$。
公式：\lim_{r\to 0^+} r^4 \ln r = 0
提示：夹逼定理要求不等式两端极限相等，此处左端趋于0，右端为0，故中间极限为0。
步骤 4/4
目标：回代得到原极限值
由 $\ln L = 0$，两边取指数得 $L = e^0 = 1$。因此原极限为：
\[
\lim_{(x,y)\to(0,0)} (x^2+y^2)^{x^2 y^2} = 1.
\]
公式：L = e^{\ln L} = e^0 = 1
提示：取对数后极限为0，说明原极限为1，注意不要遗漏指数运算。
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