山西大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
四、（15 分）假设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \left[x_{0},+\infty\right)$ 上可微，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$ ，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用导数极限条件给出ε-δ描述
由已知条件 $\lim_{x \to +\infty} f'(x) = 0$，对任意给定的 $\varepsilon > 0$，存在 $M > x_0$，使得当 $x > M$ 时，有 $|f'(x)| < \frac{\varepsilon}{2}$。
公式：$\forall \varepsilon > 0, \exists M > x_0, \forall x > M: |f'(x)| < \frac{\varepsilon}{2}$
提示：注意这里取 $\frac{\varepsilon}{2}$ 是为了后续估计留有余地。
步骤 2/5
目标：应用拉格朗日中值定理联系函数值
对任意 $x > M$，在区间 $[M, x]$ 上应用拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (M, x)$，使得 $f(x) - f(M) = f'(\xi)(x - M)$。于是 $|f(x) - f(M)| = |f'(\xi)| (x - M) < \frac{\varepsilon}{2} (x - M)$。
公式：$f(x) - f(M) = f'(\xi)(x - M), \quad \xi \in (M, x)$
提示：中值定理要求函数在闭区间连续、开区间可导，这里由可微性保证。
步骤 3/5
目标：将目标比值拆分为两部分估计
由三角不等式：$\left|\frac{f(x)}{x}\right| \leq \frac{|f(x) - f(M)|}{x} + \frac{|f(M)|}{x}$。第一部分利用上一步结果：$\frac{|f(x) - f(M)|}{x} < \frac{\varepsilon}{2} \cdot \frac{x - M}{x} < \frac{\varepsilon}{2}$。
公式：$\left|\frac{f(x)}{x}\right| \leq \frac{|f(x)-f(M)|}{x} + \frac{|f(M)|}{x}$
提示：拆分时注意分母 $x$ 为正，且 $\frac{x-M}{x} < 1$。
步骤 4/5
目标：处理常数项并统一取大值
对于第二部分，由于 $f(M)$ 是常数，存在 $X_1 = \frac{2|f(M)|}{\varepsilon}$，当 $x > X_1$ 时，$\frac{|f(M)|}{x} < \frac{\varepsilon}{2}$。取 $X = \max\{M, X_1\}$，则当 $x > X$ 时，两部分均小于 $\frac{\varepsilon}{2}$，从而 $\left|\frac{f(x)}{x}\right| < \varepsilon$。
公式：$X = \max\left(M, \frac{2|f(M)|}{\varepsilon}\right)$
提示：注意 $M$ 依赖于 $\varepsilon$，而 $X_1$ 依赖于 $f(M)$ 和 $\varepsilon$，两者取大保证同时成立。
步骤 5/5
目标：由极限定义得出结论
由 $\varepsilon$ 的任意性，根据极限定义，$\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 0$。
公式：$\forall \varepsilon > 0, \exists X > 0, \forall x > X: \left|\frac{f(x)}{x}\right| < \varepsilon$
提示：极限定义中 $X$ 依赖于 $\varepsilon$，这里已构造出这样的 $X$。
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