山西大学 2024年数学分析第0题

令 $u = \frac{x}{a}, v = \frac{y}{b}, w = \frac{z}{c}$，则 $x = a u, y = b v, z = c w$，雅可比行列式为 $\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} = abc$。原曲面方程化为 $(u^2+v^2+w^2)^3 = u v w$，即 $u^2+v^2+w^2 = (u v w)^{1/3}$。由于左边非负，要求 $u v w \ge 0$，即三个坐标同号。由对称性，先考虑第一卦限（$u,v,w > 0$），最后乘以卦限数。

在 $uvw$ 空间采用球坐标：$u = r\sin\theta\cos\phi, v = r\sin\theta\sin\phi, w = r\cos\theta$，其中 $r\ge 0, \theta\in[0,\pi], \phi\in[0,2\pi)$。代入曲面方程得 $r^2 = r (\sin^2\theta \cos\theta \sin\phi \cos\phi)^{1/3}$，即 $r = (\sin^2\theta \cos\theta \sin\phi \cos\phi)^{1/3}$。要求右边为正，故 $\theta\in(0,\pi/2)$，$\phi\in(0,\pi/2)$（第一卦限）。

体积元为 $r^2\sin\theta\, dr\, d\theta\, d\phi$。先对 $r$ 积分：$\int_0^R r^2 dr = \frac{R^3}{3} = \frac{1}{3} \sin^2\theta\cos\theta\sin\phi\cos\phi$。则第一卦限体积为 $V_1 = \int_{\phi=0}^{\pi/2}\int_{\theta=0}^{\pi/2} \frac{1}{3} \sin^2\theta\cos\theta\sin\phi\cos\phi \cdot \sin\theta\, d\theta\, d\phi = \frac{1}{3} \int_0^{\pi/2} \sin^3\theta\cos\theta\, d\theta \int_0^{\pi/2} \sin\phi\cos\phi\, d\phi$。

计算 $\int_0^{\pi/2} \sin^3\theta\cos\theta\, d\theta$：令 $t = \sin\theta$，$dt = \cos\theta\, d\theta$，积分限 $t:0\to1$，得 $\int_0^1 t^3 dt = \frac{1}{4}$。计算 $\int_0^{\pi/2} \sin\phi\cos\phi\, d\phi = \frac{1}{2} \int_0^{\pi/2} \sin 2\phi\, d\phi = \frac{1}{2} \left[-\frac{\cos 2\phi}{2}\right]_0^{\pi/2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}(1+1) = \frac{1}{2}$。故 $V_1 = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{24}$。

方程要求 $uvw > 0$，满足的卦限有：全正（第一卦限）和两负一正（第二、三、四卦限中各有三个，但实际对应坐标轴方向，共3个），总计4个卦限。故 $uvw$ 空间体积 $V_{uvw} = 4 \times \frac{1}{24} = \frac{1}{6}$。乘以雅可比 $abc$，得原坐标下体积 $V = abc \cdot \frac{1}{6} = \frac{abc}{6}$。