山西大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
七、（15 分）已知函数 $\displaystyle z=f(x, y)$ 的全微分 $\displaystyle d z=2 x d x-2 y d y$ ，并且 $\displaystyle f(1,1)=2$ ，求 $\displaystyle f(x, y)$
在椭圆域内 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \left\lvert\, x^{2}+\frac{y^{2}}{4} \leq 1\right.\right\}$ 上的最大值和最小值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：由全微分求原函数 f(x,y)
已知全微分 $dz = 2x\,dx - 2y\,dy$，则 $\frac{\partial f}{\partial x} = 2x$，$\frac{\partial f}{\partial y} = -2y$。对 $x$ 积分得 $f(x,y) = x^2 + C(y)$，再对 $y$ 求偏导得 $C'(y) = -2y$，积分得 $C(y) = -y^2 + C$。代入条件 $f(1,1)=2$，即 $1 - 1 + C = 2$，解得 $C=2$。因此 $f(x,y) = x^2 - y^2 + 2$。
公式：f(x,y) = x^2 - y^2 + 2
提示：注意全微分与偏导数的对应关系，积分时不要漏掉与另一变量有关的函数项。
步骤 2/5
目标：确定问题类型并求内部驻点
问题转化为在闭区域 $D: x^2 + \frac{y^2}{4} \le 1$ 上求连续函数 $f(x,y)=x^2-y^2+2$ 的最值。先求内部驻点：令 $\frac{\partial f}{\partial x}=2x=0$，$\frac{\partial f}{\partial y}=-2y=0$，得唯一驻点 $(0,0)$，在椭圆内部。计算函数值 $f(0,0)=2$。
公式：\nabla f = (2x, -2y) = (0,0) \Rightarrow (x,y)=(0,0)
提示：内部驻点必须满足梯度为零，且需验证该点是否在区域内部。
步骤 3/5
目标：边界上使用拉格朗日乘数法
边界条件为 $g(x,y)=x^2+\frac{y^2}{4}=1$。构造拉格朗日函数 $L(x,y,\lambda)=x^2-y^2+2+\lambda\left(1-x^2-\frac{y^2}{4}\right)$。求偏导：
1. $\frac{\partial L}{\partial x}=2x-2\lambda x=2x(1-\lambda)=0$
2. $\frac{\partial L}{\partial y}=-2y-\frac{\lambda y}{2}=-y\left(2+\frac{\lambda}{2}\right)=0$
3. $\frac{\partial L}{\partial \lambda}=1-x^2-\frac{y^2}{4}=0$
公式：L(x,y,\lambda)=x^2-y^2+2+\lambda\left(1-x^2-\frac{y^2}{4}\right)
提示：拉格朗日乘数法适用于等式约束，注意对每个变量求偏导并令为零。
步骤 4/5
目标：解方程组得到边界候选点
由第一个方程得 $x=0$ 或 $\lambda=1$。
**情况1**：$x=0$，代入边界条件得 $\frac{y^2}{4}=1$，即 $y=\pm 2$，对应点 $(0,2)$ 和 $(0,-2)$，函数值 $f=0-4+2=-2$。
**情况2**：$\lambda=1$，代入第二个方程得 $-y\cdot\frac{5}{2}=0$，即 $y=0$，代入边界条件得 $x^2=1$，即 $x=\pm 1$，对应点 $(1,0)$ 和 $(-1,0)$，函数值 $f=1-0+2=3$。
公式：\begin{cases} x=0 \Rightarrow y=\pm 2 \\ \lambda=1 \Rightarrow y=0 \Rightarrow x=\pm 1 \end{cases}
提示：解方程组时要分类讨论，避免遗漏可能的解。
步骤 5/5
目标：比较所有候选值确定最值
内部驻点：$f(0,0)=2$。边界候选点：$f(0,\pm 2)=-2$，$f(\pm 1,0)=3$。比较得最大值为 $3$，最小值为 $-2$。
公式：\max f = 3, \quad \min f = -2
提示：最值出现在边界或内部驻点，需比较所有候选点的函数值。
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