山西大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
六、（15 分）假设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的某领域内有二阶可导函数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0$ ，证明：
（1）$\displaystyle f(0)=f^{\prime}(0)=0$ ；
（2）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 绝对收敛。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：由极限条件推出 f(0)=0
已知 \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 0\)。由于分母趋于0，极限存在且为有限值0，故分子也必须趋于0，即 \(\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x) = 0\)。函数在0点附近可导，从而连续，因此 \(f(0) = \lim_{x \to 0} f(x) = 0\)。
公式：\lim_{x \to 0} f(x) = 0 \Rightarrow f(0)=0
提示：注意极限存在且分母趋于0时，分子必须趋于0，这是极限的基本性质。
步骤 2/6
目标：由导数定义推出 f'(0)=0
利用导数的定义：\(f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}\)。由第一步已得 \(f(0)=0\)，故 \(f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}\)。而题目已知该极限为0，因此 \(f'(0)=0\)。
公式：f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 0
提示：导数定义中分母是 x-0，不要忘记减去 f(0)。
步骤 3/6
目标：利用二阶可导进行泰勒展开
由条件，函数在0的某邻域内二阶可导，且已证 \(f(0)=0, f'(0)=0\)。对 \(f(x)\) 在0点处使用带佩亚诺余项的泰勒公式展开到二阶：\(f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2}x^2 + o(x^2) = \frac{f''(0)}{2}x^2 + o(x^2)\)。
公式：f(x) = \frac{f''(0)}{2}x^2 + o(x^2)
提示：二阶可导保证泰勒公式成立，但二阶导不一定连续，因此用佩亚诺余项更稳妥。
步骤 4/6
目标：得到局部不等式控制 |f(x)|
由泰勒展开，\(\frac{f(x)}{x^2} \to \frac{f''(0)}{2}\) 当 \(x \to 0\)，因此存在 \(\delta > 0\) 和常数 \(C > 0\)，使得当 \(|x| < \delta\) 时，有 \(|f(x)| \le C x^2\)。这里 \(C\) 可取为 \(|f''(0)|+1\) 之类的数。
公式：|f(x)| \le C x^2, \quad |x| < \delta
提示：注意极限局部有界性的应用：极限存在则函数在局部有界。
步骤 5/6
目标：将不等式应用于级数通项
取正整数 \(N\) 使得当 \(n > N\) 时，\(\frac{1}{n} < \delta\)。则对于所有 \(n > N\)，有 \(\left| f\left(\frac{1}{n}\right) \right| \le C \cdot \frac{1}{n^2}\)。
公式：\left| f\left(\frac{1}{n}\right) \right| \le \frac{C}{n^2}, \quad n > N
提示：注意 \(1/n\) 会趋于0，因此总能找到这样的 N。
步骤 6/6
目标：由比较判别法证明级数绝对收敛
级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\) 收敛（p-级数，p=2>1）。由比较判别法，\(\sum_{n=1}^{\infty} \left| f\left(\frac{1}{n}\right) \right|\) 收敛，即原级数绝对收敛。
公式：\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \text{ 收敛} \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} \left| f\left(\frac{1}{n}\right) \right| \text{ 收敛}
提示：比较判别法要求通项非负且被控制，这里绝对值后满足条件。
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