山西大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
二、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续，$\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}[f(x)- g(x)]=0$ ，证明：$\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：回顾一致连续的定义
函数 $h(x)$ 在区间 $I$ 上一致连续，是指：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得对任意 $x_1, x_2 \in I$，只要 $|x_1 - x_2| < \delta$，就有 $|h(x_1) - h(x_2)| < \varepsilon$。我们要证明 $g(x)$ 在 $[a, +\infty)$ 上满足此性质。
公式：\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x_1, x_2 \in I, |x_1 - x_2| < \delta \Rightarrow |h(x_1) - h(x_2)| < \varepsilon
提示：注意一致连续与连续的区别：一致连续的 $\delta$ 只依赖于 $\varepsilon$，不依赖于点的位置。
步骤 2/6
目标：利用极限条件控制尾部误差
由 $\lim_{x \to \infty} [f(x) - g(x)] = 0$，对任意给定的 $\varepsilon > 0$，存在 $M > a$，使得当 $x > M$ 时，$|f(x) - g(x)| < \frac{\varepsilon}{3}$。
公式：\exists M > a, \forall x > M: |f(x) - g(x)| < \frac{\varepsilon}{3}
提示：这里取 $\frac{\varepsilon}{3}$ 是为了后续三角不等式放缩留出余地。
步骤 3/6
目标：处理有限闭区间上的一致连续性
考虑有限闭区间 $[a, M+1]$，由于 $g(x)$ 在该区间上连续，由 Cantor 定理知 $g(x)$ 在 $[a, M+1]$ 上一致连续。因此存在 $\delta_1 > 0$，使得对任意 $x_1, x_2 \in [a, M+1]$，只要 $|x_1 - x_2| < \delta_1$，就有 $|g(x_1) - g(x_2)| < \frac{\varepsilon}{3}$。
公式：\exists \delta_1 > 0, \forall x_1, x_2 \in [a, M+1], |x_1 - x_2| < \delta_1 \Rightarrow |g(x_1) - g(x_2)| < \frac{\varepsilon}{3}
提示：闭区间上连续函数一定一致连续，这是经典结论。注意区间取到 $M+1$ 是为了与后续无穷区间部分重叠。
步骤 4/6
目标：利用 f 的一致连续性处理无穷区间部分
由于 $f(x)$ 在 $[a, +\infty)$ 上一致连续，存在 $\delta_2 > 0$，使得对任意 $x_1, x_2 \in [a, +\infty)$，只要 $|x_1 - x_2| < \delta_2$，就有 $|f(x_1) - f(x_2)| < \frac{\varepsilon}{3}$。现在对任意 $x_1, x_2 \in [M, +\infty)$ 且 $|x_1 - x_2| < \delta_2$，利用三角不等式：
$$|g(x_1) - g(x_2)| \leq |g(x_1) - f(x_1)| + |f(x_1) - f(x_2)| + |f(x_2) - g(x_2)| < \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon.$$
公式：|g(x_1) - g(x_2)| \leq |g(x_1) - f(x_1)| + |f(x_1) - f(x_2)| + |f(x_2) - g(x_2)|
提示：注意 $x_1, x_2 \geq M$ 时，前、后两项由极限条件控制，中间项由 $f$ 的一致连续性控制。
步骤 5/6
目标：统一 delta 并处理跨区间情形
取 $\delta = \min(\delta_1, \delta_2, 1)$。对于任意 $x_1, x_2 \in [a, +\infty)$ 且 $|x_1 - x_2| < \delta$，分三种情况讨论：
- 若 $x_1, x_2 \in [a, M+1]$，由 $\delta_1$ 保证 $|g(x_1) - g(x_2)| < \varepsilon$；
- 若 $x_1, x_2 \in [M, +\infty)$，由 $\delta_2$ 和三角不等式保证 $|g(x_1) - g(x_2)| < \varepsilon$；
- 若一个在 $[a, M]$ 另一个在 $[M, +\infty)$，由于 $|x_1 - x_2| < \delta \leq 1$，则两者必同时落在 $[M, M+1]$ 内（因为距离小于1，且一个不超过M，另一个至少为M，则另一个不超过M+1），从而属于第一种情况，结论成立。
公式：\delta = \min(\delta_1, \delta_2, 1)
提示：取 $\delta \leq 1$ 是为了保证跨区间时两点不会超出重叠区域 $[M, M+1]$，从而被有限区间的一致连续性覆盖。
步骤 6/6
目标：得出结论
综上，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得对任意 $x_1, x_2 \in [a, +\infty)$，只要 $|x_1 - x_2| < \delta$，就有 $|g(x_1) - g(x_2)| < \varepsilon$。因此 $g(x)$ 在 $[a, +\infty)$ 上一致连续。
提示：证明的关键在于利用 $f$ 的一致连续性和极限条件，通过分区间和三角不等式进行控制。
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