山西大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
九、（15 分）计算 $\displaystyle \mathrm{J}=\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{\mathrm{px}} \frac{\operatorname{sinbx}-\operatorname{sinax}}{\mathrm{x}} \mathrm{dx},(\mathrm{p}>0, \mathrm{~b}>\mathrm{a})$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：识别积分收敛条件并修正表达式
原题中积分 $\displaystyle \mathrm{J}=\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{\mathrm{px}} \frac{\operatorname{sinbx}-\operatorname{sinax}}{\mathrm{x}} \mathrm{dx}$ 中 $p>0$，此时 $e^{px}$ 在 $x\to+\infty$ 时指数增长，导致积分发散。因此推测题目本意应为 $e^{-px}$ 形式（常见收敛情形）。修正后积分式为：
$$J = \int_{0}^{+\infty} e^{-px} \frac{\sin bx - \sin ax}{x} \, dx, \quad (p>0, b>a)$$
公式：$\int_{0}^{\infty} e^{-px} \frac{\sin(kx)}{x} dx = \arctan\left(\frac{k}{p}\right), \quad p>0$
提示：注意指数项符号：若为 $e^{px}$ 且 $p>0$，积分发散，需修正为 $e^{-px}$ 才能计算。
步骤 2/4
目标：拆分积分并应用已知公式
将积分拆分为两个部分：
$$J = \int_{0}^{\infty} e^{-px} \frac{\sin bx}{x} \, dx - \int_{0}^{\infty} e^{-px} \frac{\sin ax}{x} \, dx$$
利用已知公式 $\int_{0}^{\infty} e^{-px} \frac{\sin(kx)}{x} dx = \arctan\left( \frac{k}{p} \right)$，分别代入 $k=b$ 和 $k=a$，得：
$$\int_{0}^{\infty} e^{-px} \frac{\sin bx}{x} \, dx = \arctan\left( \frac{b}{p} \right)$$
$$\int_{0}^{\infty} e^{-px} \frac{\sin ax}{x} \, dx = \arctan\left( \frac{a}{p} \right)$$
公式：$\int_{0}^{\infty} e^{-px} \frac{\sin(kx)}{x} dx = \arctan\left(\frac{k}{p}\right)$
提示：该公式可通过拉普拉斯变换或对参数 $k$ 求导证明，注意 $p>0$ 保证收敛。
步骤 3/4
目标：计算差值并化简
于是：
$$J = \arctan\left( \frac{b}{p} \right) - \arctan\left( \frac{a}{p} \right)$$
利用反正切差公式 $\arctan u - \arctan v = \arctan\frac{u-v}{1+uv}$（当 $uv > -1$），这里 $u = \frac{b}{p}$，$v = \frac{a}{p}$，且 $u,v>0$，满足条件，代入得：
$$J = \arctan\left( \frac{\frac{b}{p} - \frac{a}{p}}{1 + \frac{ab}{p^2}} \right) = \arctan\left( \frac{p(b-a)}{p^2 + ab} \right)$$
公式：$\arctan u - \arctan v = \arctan\frac{u-v}{1+uv}$
提示：使用反正切差公式时需检查 $uv > -1$，此处 $u,v>0$ 自动满足。
步骤 4/4
目标：得出最终结果
因此，修正后的积分结果为：
$$J = \arctan\left( \frac{p(b-a)}{p^2 + ab} \right)$$
若原题确为 $e^{px}$ 且 $p>0$，则积分发散，无有限值。
公式：$\boxed{\arctan\left( \frac{p(b-a)}{p^2+ab} \right)}$
提示：最终结果仅适用于 $p>0$ 且指数为 $e^{-px}$ 的情形，注意检查题目条件。
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