山西大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
三、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可微，$\displaystyle f(x)=0$ ，且对任意的 $\displaystyle x \in(0,1), f(x) \neq 0$ 证明：对于任意 $\displaystyle \theta \epsilon(0,1)$ ，使得 $\displaystyle \frac{2 f^{\prime}(\theta)}{f(\theta)} \frac{f^{\prime}(1-\theta)}{f(1-\theta)}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确题目条件与目标
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可微，$f(0)=0$，且对任意 $x \in (0,1)$，$f(x) \neq 0$。需要证明存在 $\theta \in (0,1)$，使得 $\frac{2 f'(\theta)}{f(\theta)} = \frac{f'(1-\theta)}{f(1-\theta)}$。
公式：f(0)=0, f(x)≠0 (x∈(0,1))
提示：注意 $f(0)=0$ 是边界条件，而 $f(x)$ 在开区间内非零，这允许我们取对数构造辅助函数。
步骤 2/6
目标：构造辅助函数并利用对数导数
定义 $g(x) = \ln|f(x)|$，则 $g'(x) = \frac{f'(x)}{f(x)}$，在 $(0,1)$ 内有定义。原等式等价于 $2g'(\theta) = g'(1-\theta)$。
公式：g'(x) = \frac{f'(x)}{f(x)}
提示：取绝对值是因为 $f(x)$ 可能为负，但导数公式相同。
步骤 3/6
目标：构造新的辅助函数以应用介值定理或罗尔定理
令 $h(x) = \ln|f(x)| - 2\ln|f(1-x)|$，则 $h'(x) = \frac{f'(x)}{f(x)} + 2\frac{f'(1-x)}{f(1-x)}$。注意这里求导时对 $\ln|f(1-x)|$ 求导得到 $-\frac{f'(1-x)}{f(1-x)} \cdot (-1) = \frac{f'(1-x)}{f(1-x)}$，因此 $h'(x)$ 是两项之和。但我们需要的是差的形式，因此需要调整。
公式：h(x) = \ln|f(x)| - 2\ln|f(1-x)|, \quad h'(x) = \frac{f'(x)}{f(x)} + 2\frac{f'(1-x)}{f(1-x)}
提示：注意复合函数求导的符号：$\frac{d}{dx} \ln|f(1-x)| = \frac{f'(1-x)}{f(1-x)} \cdot (-1)$。
步骤 4/6
目标：构造正确的辅助函数以匹配目标等式
为了得到 $\frac{2f'(\theta)}{f(\theta)} - \frac{f'(1-\theta)}{f(1-\theta)} = 0$，考虑函数 $\varphi(x) = 2\ln|f(x)| + \ln|f(1-x)|$。则 $\varphi'(x) = 2\frac{f'(x)}{f(x)} - \frac{f'(1-x)}{f(1-x)}$。令 $\varphi'(\theta)=0$ 即得所需等式。
公式：\varphi(x) = 2\ln|f(x)| + \ln|f(1-x)|, \quad \varphi'(x) = 2\frac{f'(x)}{f(x)} - \frac{f'(1-x)}{f(1-x)}
提示：这里对 $\ln|f(1-x)|$ 求导得到 $-\frac{f'(1-x)}{f(1-x)}$，因此符号为负。
步骤 5/6
目标：应用罗尔定理或介值定理证明导函数零点存在
考虑 $\varphi(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上的行为。由于 $f(0)=0$，当 $x \to 0^+$ 时，$\ln|f(x)| \to -\infty$，因此 $\varphi(x) \to -\infty$；当 $x \to 1^-$ 时，$\ln|f(1-x)| \to -\infty$，$\varphi(x) \to -\infty$。而 $\varphi(x)$ 在 $(0,1)$ 内连续，故存在 $a,b \in (0,1)$ 使得 $\varphi(a)=\varphi(b)$ 且 $a \neq b$（例如取 $x=1/2$ 处有限值）。由罗尔定理，存在 $\theta$ 介于 $a$ 与 $b$ 之间，使得 $\varphi'(\theta)=0$。
公式：\varphi(a)=\varphi(b) \Rightarrow \exists \theta \in (a,b), \varphi'(\theta)=0
提示：严格来说，需要说明 $\varphi(x)$ 在 $(0,1)$ 内某点取有限值，例如 $x=1/2$ 处 $f(1/2) \neq 0$，故 $\varphi(1/2)$ 有限。
步骤 6/6
目标：得出结论
由 $\varphi'(\theta)=0$ 得 $2\frac{f'(\theta)}{f(\theta)} - \frac{f'(1-\theta)}{f(1-\theta)} = 0$，即 $\frac{2f'(\theta)}{f(\theta)} = \frac{f'(1-\theta)}{f(1-\theta)}$。因此存在 $\theta \in (0,1)$ 满足要求。
公式：\frac{2f'(\theta)}{f(\theta)} = \frac{f'(1-\theta)}{f(1-\theta)}
提示：注意 $\theta$ 在 $(0,1)$ 内，分母 $f(\theta)$ 和 $f(1-\theta)$ 均非零。
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