山西大学 2025年数学分析第4题
📝 题目
4、（15 分）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续， $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) d x$ 收敛，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：假设结论不成立，构造反例序列
假设 $\lim_{x\to +\infty} f(x) \neq 0$，则存在 $\varepsilon_0 > 0$ 和数列 $x_n \to +\infty$，使得 $|f(x_n)| \ge \varepsilon_0$。
公式：$\exists \varepsilon_0>0,\ \exists \{x_n\}\subset[a,+\infty),\ x_n\to+\infty,\ |f(x_n)|\ge\varepsilon_0$
提示：注意反证法的假设是极限不为0，而不是极限不存在，因此可以找到这样的正下界。
步骤 2/6
目标：利用一致连续性确定δ
由 $f$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续，对上述 $\varepsilon_0>0$，存在 $\delta>0$，使得对任意 $x,y\in[a,+\infty)$，只要 $|x-y|<\delta$，就有 $|f(x)-f(y)|<\frac{\varepsilon_0}{2}$。
公式：$\forall x,y\in[a,+\infty),\ |x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\frac{\varepsilon_0}{2}$
提示：一致连续性保证δ只依赖于ε，不依赖于点的位置。
步骤 3/6
目标：在小区间上估计函数值的下界
对每个充分大的 $x_n$，考虑区间 $[x_n, x_n+\delta]$。对任意 $t\in[x_n, x_n+\delta]$，有 $|t-x_n|\le\delta$，由一致连续性得 $|f(t)-f(x_n)|<\frac{\varepsilon_0}{2}$，从而 $|f(t)| \ge |f(x_n)| - |f(t)-f(x_n)| > \varepsilon_0 - \frac{\varepsilon_0}{2} = \frac{\varepsilon_0}{2}$。
公式：$|f(t)| > \frac{\varepsilon_0}{2},\ \forall t\in[x_n, x_n+\delta]$
提示：注意这里用到了三角不等式，并且 $f(t)$ 与 $f(x_n)$ 同号。
步骤 4/6
目标：导出积分片段的下界
由于在每个区间 $[x_n, x_n+\delta]$ 上 $|f(t)| > \frac{\varepsilon_0}{2}$，且 $f(t)$ 与 $f(x_n)$ 同号，因此 $\int_{x_n}^{x_n+\delta} f(t)\,dt$ 的绝对值至少为 $\frac{\varepsilon_0}{2}\cdot\delta$，且符号一致。
公式：$\left|\int_{x_n}^{x_n+\delta} f(t)\,dt\right| \ge \frac{\varepsilon_0\delta}{2}$
提示：这里不需要绝对收敛，因为符号一致保证了积分绝对值就是下界。
步骤 5/6
目标：构造不重叠的子列并导出矛盾
取子列使得 $x_{n+1} \ge x_n + \delta$（例如从原序列中选取满足此条件的子列），则这些区间互不重叠。于是 $\int_a^{+\infty} f(x)\,dx$ 的部分和包含无穷多个绝对值至少为 $\frac{\varepsilon_0\delta}{2}$ 的片段，因此部分和数列不收敛（增量不趋于0），与积分收敛矛盾。
公式：$\sum_{k=1}^N \left|\int_{x_{n_k}}^{x_{n_k}+\delta} f(x)\,dx\right| \ge N\cdot\frac{\varepsilon_0\delta}{2} \to +\infty$
提示：注意条件收敛的积分要求部分和收敛，但这里增量不趋于0，导致发散。
步骤 6/6
目标：得出结论
反证假设不成立，故必有 $\lim_{x\to +\infty} f(x)=0$。
公式：$\lim_{x\to +\infty} f(x)=0$
提示：这是结论，无需额外提示。
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