📝 山西大学 2025年数学分析真题

1、（15 分）$\displaystyle R(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{q} & x=\frac{p}{q}, q>0, p, q \text { 是互质整数 } \\ 0 & x=0,1 \text { 及无理数 }\end{array}(0 \leq x \leq 1)\right.$ ，讨论 $\displaystyle R(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上的可积性．

2、（15 分）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x e^{-x^{2}} & x \geq 0 \\ \frac{1}{1+e^{x}}, & x<0\end{array}\right.$ ，求 $\displaystyle I=\int_{1}^{4} f(x-2) d x$ ．

3、（15 分）
（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上可导 $\displaystyle f^{\prime}(x) \geq C>0$（ $c$ 为常数）证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$ ．
（2）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上有最小值．

4、（15 分）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续， $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) d x$ 收敛，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．

5、（15 分）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上具有连续二阶导数且 $\displaystyle f(0) f(1) \geq 0$ ，证明：

$$
\int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(x)\right| d x \leq 2 \int_{0}^{1}|f(x)| d x+\int_{0}^{1}\left|f^{\prime \prime}(x)\right| d x
$$

6、（15 分）假设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶连续可导，$\displaystyle f(0)=f(1)=0$ 且对任意 $\displaystyle x \in(0,1)$ ， $\displaystyle f(x) \neq 0$ ，证明： $\displaystyle \int_{0}^{1}\left|\frac{f^{\prime \prime}(x)}{f(x)}\right| d x>4$ ．

7、（15 分）给定级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n+1}$ ．
（1）求和函数 $\displaystyle S(x)$ ．
（2）证明：广义积分 $\displaystyle \int_{0}^{1} S(x) d x$ 收敛，并写出它的值．

8、（15 分）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=k$ ，证明：

$$
\int_{0}^{+\infty} \frac{f(a x)-f(b x)}{x} d x=(f(0)-k) \ln \frac{b}{a}(a, b>0)
$$

9、（15 分）$\displaystyle f(x, y)=x^{3}+2 x^{2}-2 x y+y^{2}$ 的极值，是极大值或极小值？为什么？

10、（15 分）求 $\displaystyle \iint_{S} x y z d x d y, S: x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 在 $\displaystyle x \geq 0, y \geq 0$ 部分并取球外侧．