山西大学 2025年数学分析第3题
📝 题目
3、（15 分）
（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上可导 $\displaystyle f^{\prime}(x) \geq C>0$（ $c$ 为常数）证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$ ．
（2）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上有最小值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：证明极限为无穷大
由拉格朗日中值定理，对于任意 $x > a$，存在 $\xi \in (a, x)$ 使得 $f(x) - f(a) = f'(\xi)(x - a)$。由于 $f'(\xi) \ge C > 0$，可得 $f(x) - f(a) \ge C(x - a)$，即 $f(x) \ge f(a) + C(x - a)$。当 $x \to +\infty$ 时，右边趋于 $+\infty$，故 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$。
公式：f(x) \ge f(a) + C(x - a)
提示：注意拉格朗日中值定理的使用条件：函数在闭区间上连续、开区间内可导，这里满足。
步骤 2/4
目标：利用极限存在性找到有限区间
由(1)知 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$，因此存在 $M > a$，使得对所有 $x \ge M$，有 $f(x) \ge f(a)$。这是因为当 $x$ 充分大时，函数值可以大于任意给定的数，特别地大于 $f(a)$。
公式：\exists M > a, \forall x \ge M: f(x) \ge f(a)
提示：极限定义的应用：取 $\varepsilon = 1$ 或直接由极限为无穷大的定义。
步骤 3/4
目标：在闭区间上应用最值定理
考虑闭区间 $[a, M]$。由于 $f(x)$ 在 $[a, +\infty)$ 上可导，故在 $[a, M]$ 上连续。由闭区间上连续函数的最值定理，$f(x)$ 在 $[a, M]$ 上存在最小值，记该最小值为 $f(x_0)$，其中 $x_0 \in [a, M]$。
公式：\min_{x \in [a, M]} f(x) = f(x_0)
提示：闭区间上连续函数必有最大值和最小值，这是基本定理。
步骤 4/4
目标：证明该最小值是全局最小值
对于任意 $x \in [M, +\infty)$，由步骤2知 $f(x) \ge f(a)$。而 $f(x_0)$ 是 $[a, M]$ 上的最小值，故 $f(x_0) \le f(a)$。因此对任意 $x \ge M$，有 $f(x) \ge f(a) \ge f(x_0)$。同时，对任意 $x \in [a, M]$，由定义 $f(x) \ge f(x_0)$。所以 $f(x_0)$ 是 $[a, +\infty)$ 上的最小值。
公式：\forall x \in [a, +\infty), f(x) \ge f(x_0)
提示：注意比较 $f(a)$ 和 $f(x_0)$ 的大小关系，确保覆盖整个区间。
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