山西大学 2025年数学分析第2题
📝 题目
2、（15 分）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x e^{-x^{2}} & x \geq 0 \\ \frac{1}{1+e^{x}}, & x<0\end{array}\right.$ ，求 $\displaystyle I=\int_{1}^{4} f(x-2) d x$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：变量代换，将积分转化为关于 f(t) 的积分
令 $t = x - 2$，则当 $x$ 从 $1$ 到 $4$ 时，$t$ 从 $-1$ 到 $2$，且 $dx = dt$。于是原积分化为：
$$I = \int_{1}^{4} f(x-2) \, dx = \int_{-1}^{2} f(t) \, dt$$
公式：$t = x-2$，$dx = dt$，积分限 $t: -1 \to 2$
提示：注意换元后积分限的变化，不要忘记调整上下限。
步骤 2/5
目标：根据分段函数拆分积分区间
由于 $f(t)$ 在 $t<0$ 和 $t \ge 0$ 有不同的表达式，将积分拆分为两部分：
$$I = \int_{-1}^{0} f(t) \, dt + \int_{0}^{2} f(t) \, dt$$
其中当 $t<0$ 时 $f(t) = \dfrac{1}{1+e^{t}}$，当 $t \ge 0$ 时 $f(t) = t e^{-t^{2}}$。
公式：$I = \int_{-1}^{0} \frac{1}{1+e^{t}} \, dt + \int_{0}^{2} t e^{-t^{2}} \, dt$
提示：注意分段点 $t=0$ 的归属，通常可以归到任意一侧，但需保证积分区间不重叠。
步骤 3/5
目标：计算第一部分积分 $I_1 = \int_{-1}^{0} \frac{1}{1+e^{t}} \, dt$
利用公式 $\int \frac{1}{1+e^{t}} \, dt = t - \ln(1+e^{t}) + C$，计算定积分：
$$\begin{aligned}
I_1 &= \left[ t - \ln(1+e^{t}) \right]_{-1}^{0} \\
&= (0 - \ln 2) - \left( -1 - \ln(1+e^{-1}) \right) \\
&= -\ln 2 + 1 + \ln\left(1+\frac{1}{e}\right) \\
&= -\ln 2 + 1 + \ln\left(\frac{e+1}{e}\right) \\
&= -\ln 2 + 1 + \ln(e+1) - 1 \\
&= \ln(e+1) - \ln 2 = \ln\frac{e+1}{2}
\end{aligned}$$
公式：$\int \frac{1}{1+e^{t}} \, dt = t - \ln(1+e^{t}) + C$
提示：计算下限时注意 $\ln(1+e^{-1}) = \ln\frac{e+1}{e} = \ln(e+1)-1$，避免符号错误。
步骤 4/5
目标：计算第二部分积分 $I_2 = \int_{0}^{2} t e^{-t^{2}} \, dt$
令 $u = t^{2}$，则 $du = 2t \, dt$，即 $t \, dt = \frac{1}{2} du$。当 $t=0$ 时 $u=0$，当 $t=2$ 时 $u=4$。于是：
$$I_2 = \int_{0}^{4} e^{-u} \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int_{0}^{4} e^{-u} \, du = \frac{1}{2} \left[ -e^{-u} \right]_{0}^{4} = \frac{1}{2} ( -e^{-4} + 1 ) = \frac{1 - e^{-4}}{2}$$
公式：$\int t e^{-t^{2}} \, dt = -\frac{1}{2} e^{-t^{2}} + C$ 或换元法
提示：换元后注意积分限的对应，以及系数 $\frac{1}{2}$ 不要遗漏。
步骤 5/5
目标：合并两部分结果得到最终积分值
将 $I_1$ 和 $I_2$ 相加：
$$I = I_1 + I_2 = \ln\frac{e+1}{2} + \frac{1 - e^{-4}}{2}$$
公式：$I = \ln\frac{e+1}{2} + \frac{1 - e^{-4}}{2}$
提示：最终结果可以保留为这种形式，无需进一步化简。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。